To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Egri chiziq yoyining uzunligi

Misol.   a

cos 20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping.
4
Yechish. Agar  burchak 0 dan 
gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak
qismiga teng:
2
4
2
0 0
0
1
1 4
1
2 2

2 4 2
 a sin 20  a
4

Q    d  a cos 20d 
4 2 2

Demak, Q  a2 .

1.To’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq yoyining uzunligi. koordinatalarda egri chiziq y  f (x) tenglama bilan berilgan bo’lsin.

3. Egri chiziq yoyini uzunligi
Tekislikda
to’g’ri
burchakli
Bu egri chiziqning x  a va x  b vertical to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan AB yoyining uzunligini topamiz.
AB yoydan A, M1, M2 ,..., Mi ,..., B nuqtalarni
x0  a, x1, x2 ,..., xi ,...,b  xn bo’lsin. AM1, M1M2 ,..., Mn1B
bu nuqtalarning
olamiz, absissalari
vatarlarni o’tkazamiz va bu vatarlarning
uzunliklarini mos ravishda s1,s2 ,...,sn bilan belgilaymiz. Bu holda AB yoyga
ichki chizilgan
n
AM1M2...Mn1B siniq chiziqqa ega bo’lamiz. Siniq chiziqning uzunligi sn  si ga teng.
i1

s  lim si

AB yoyning s uzunligi deb
n
max si 0 i1
(1)
limitga aytiladi. Yuqoridagi kabi mulohazalarni takrorlab topamiz:
b
s   1 [ f '(x)]2 dx
a
yoki
dy
]2 dx
dx
b
s   1 [
a
(2)
Misol 1. x2  y2  r2 aylana uzunligini toping.
Yechish. Avval aylana chorak qismining uzunligini topamiz. Bu holda AB quyidagicha:
r2
x
dx
r2
y   x2 , bu yerdan dy 

• x2

Demak,
x2
0
r2
0
1
4
1 dx 

• x2

x 
r 2
|r  r
r

r

0
r
r2
dx  r arcsin

• x2

s 
Butun aylananing uzunligi s  2 r ga teng.

x  (t), y  (t) (  t   )

Endi egri chiziq parametric ko’rinishida
berilganda yoy uzunlikligini topamiz, bu yerda (t) va  (t) - hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uzluksiz funksiyalar, bunda  '(t) berilgan uchastkada nolga teng emas. Bu holda yoy uzunligi

s   [ '(t)]2  [ '(t)]2 dt

(5)
formula bilan topiladi.
Misol 2. x  a cos3 t, y  asin3 t giposikloidning uzunliklarini toping.
Yechish. Egri chiziq ikkala koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun avval birinchi chorakda qismining uzunligini topib olamiz:
dt
dx  3a cos2 t sin t, dy  3asin2 t cost
dt
t parametr 0 dan  gacha o’zgaradi.
2
Demak,

2
2
2 4 2 2 4 2
0
0
1
s   9a cos t sin t  9a sin t cos tdt  3a sin2 t cos2 tdt 
4

2
0
sin2 t
3a
2
2


 3a sin t costdt  3a
0
|2 

s  6a

x  (t), y  (t), z  (t) (6) parametrik ko’rinishida berilgan fazoviy egri

chiziqning
  t   bo’lgandagi uzunligi

s   [ '(t)]2  [ '(t)]2 [ '(t)]2 dt

(7)

Misol 4.   a(1 cos ) koordinataning uzunligini toping.

Yechish.  qutb burchagi 0 dan  gacha o’zgarganda chiziqning yarmini olamiz. Bu yerda
 '  asin
Demak,
0
2
0 0


 
2
2  2cosd 
 4a cos
0
d  8a sin |  8a
 
s  2 a2 (1  cos2  )  a2 sin2 d  2a

4.Aniq integrallarni taqribiy hisoblash
Ma’lumki, [a,b] intervalda uzluksiz bo’lgan har qanday y  f (x) funksiya shu intervalda boshlang’ichga ega, ya’ni F '(x)  f (x) tenglikni qanoatlantiradigan F (x) funksiya mavjuda. Ammo har qanday
boshlang’ich funksiya, hattoki u mavjud bo’lgan holda ham, elementar funksiyalar orqali chekli ko’rinishda ifodalanmaydi. Bunday hollarda aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash ancha mushkul ish va aniq integralni hisoblashning turli taqribiy usullar qo’llaniladi. Hozir biz taqribiy integralning bir necha usullarini keltiramiz.
I.To’g’ri to’rtburchaklar formulasi [a,b] kesmada uzluksiz y  f (x) funksiya berilgan bo’lsin. Ushbu
b
 f (x)dx
a
aniq integralni hisoblash talab etiladi.
[a,b] kesmani a  x0 , x1, x2 ,..., xn  b nuqtalar yordamida uzlukligi x bo’lgan n ta teng qismlarga bo’lamiz:
x  b  a
n
bilan f (x) funksiyaning x0 , x1, x2 ,..., xn nuqtalardagi qiymatlarini belgilaymiz:
y0  f (x0 ), y1  f (x1),..., yn  f (xn )
y0 , y1, y2 ,..., yn1, yn
Endi
y0x  y1x  ...  yn1x
y1x  y2x  ...  ynx
yig’indilarni tuzamiz.
Bu yig’indilardan har biri f (x) funksiya uchun [a,b] kesmada integral yig’indi bo’ladi va shuning uchun
b
 f (x)dx 
a
n
b  a
 y0  y1  y2  ...  yn1 
(1)
b
 f (x)dx 
a
n
b  a
 y1  y2  ...  yn 
(1’)
Mana shu to’g’ri to’rtburchaklar formulasidir. Rasmdan ko’rinib turibdiki, agar f (x) - musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula ichlaridan to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinasimon figuraning yuzasini ifodalaydi. (1’) formula esa tashqariga chiqib turgan zinasimon figurani yuzasini ifodalaydi.
n soni qanchalik kata bo’lsa, (ya’ni x  b  a bo’lishi qadami qanchalik kichik bo’lsa) integralni to’g’ri to’rtburchaklar
n
formulasi yordamida hisoblashdagi hatolik shunchalik kam bo’ladi.
II.Trapetsiyalar formulasi. Agar berilgan y  f (x) egri chiziq o’rniga zinasimon funksiyani emas, balki ichki chizilgan aniq chiziqni olsak (2-rasm) biz aniq integralning yanayam aniqroq qiymatini olamiz. Bu holda aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi o’rniga yuqoridan AA1, A1 A2 ,..., An1B vatarlar bilan chegralangan to’g’ri chiziqli
trapetsiyalar yuzalarining yig’indisini olamiz. Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzasi
y0  y1 x
2
ga
2
ikkinchisiniki y1  y2 x g ava v.h.zga teng bo’lganligi uchun
2
2
2
b
a
y  y
 y  y y  y



 f (x)dx   0 1 x  1 2 x  ...  n1 n x 
yoki
b
 f (x)dx 
n 2
a
b  a  y  y

 0 1
 
 y1  y2  ...  yn1  (2)
Bu trapetsiyalar formulasidir. (2) formulaning o’ng tomonida turgan son (1) va (1’) formulalarning o’ng tomonlarida turgan sonlarning o’rta arifmetigidir.
n soni ixtiyoriy tanlanadi. Bu son qanchalik kata bo’lsa, demakki, x  b  a qadam shunchalik kichik bo’ladi,
n
(2) taqribiy tenglikning o’ng tomonida turgan yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi.

III.Parabolalar formulasi (Simpson formulasi). [a,b] kesmani juft sondagi n  2m teng bo’laklarga bo’lamiz. Dastlabki ikkita [x0 , x1] va [x1, x2 ] kesmalarga mos kelgan va berilgan y  f (x) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini M (x0 , y0 ), M1(x1, y1), M2 (x2 , y2 ) uchta nuqtalar

bilan chegaralangan va Oy o’qqa parallel o’qqa ega bo’lgan egri chiziqli trapetsiya yuzasi bilan almshtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolic trapetsiya deyiladi.
O’qi Oy o’qqa parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi
y  Ax2  Bx  C
ko’rinishida bo’ladi.
A, B,C koeffitsientlar
parabolaning berilgan uchta nuqtalardan o’tish
shartidan topiladi. quramiz. Parabolic
Kesmalarning boshqa juftlari uchun ham shunga o’xshagan parabolalarni trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi.
Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz.

Foydalanildi:

G O O G L E . C O M
W I K I P E D I A
K I T O B L A R
A.G`oziyev,I. Isroilov,M. Yaxshiboyev Matematik analiz v a misol masalala r to`plami
E`tiboringiz uchun rahmat!