To’plamlar nazariyasi haqida tushuncha. To’ To’plamlar nazariyasi aksiomalari turlari

MUSTAQIL ISH
REJA:

1. 
   To’plamlar nazariyasi haqida tushuncha.
   

2. 
   To’ To’plamlar nazariyasi aksiomalari turlari.
   

3. 
   Xulosa.
   

To‘plam, to‘plamning elementlari, chekli to‘plam, cheksiz to‘plam, to‘plamlarning tengligi, qism to‘plam, xos qism to‘plam, refleksivlik, bo‘sh to‘plam, to‘plamning quvvati, paradoks, aksioma, aksiomatik nazariya, tanlash aksiomasi, hajmiylik aksiomasi, bo‘sh to‘plam aksiomasi, juftlik aksiomasi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi, tartiblanmagan juftlik, tranzitivlik, o‘zaro ekvivalent tasdiqlar.

To’plamlar nazariyasi barcha matematik bilimlar tizimining baquvvat poydevori bo’lib xizmat qiladi. Har bir tadqiqot ob`yektini biror to’plam sifatida tasavvur qilish mumkin. Biroq to’plamlar universumini erkin holda, hech bir shartlarsiz qo’llash ba`zan ziddiyatga olib kelishi mumkin. Ziddiyatlar matematikada paradoks deb yuritiladi. To’plamlarga bog’liq bo`lgan 2 ta paradoksni keltiramiz. Bular ingliz matematigi Bertran Artur Uil`yam Rassel (1872 – 1970 yy) va Kantor paradokslari. Rassel paradoksi. R barcha to’plamlar to’plami bo’lsin va bu to’plamlar o’z-o’zining elementlari bo’lmasin, ya`ni R {x | x x} . U holda ixtiyoriy x to’plam uchun xR  xx . Agar x o’rniga R ni qo’ysak, u holda R R bajariladi, faqat va faqat RR da, bu esa ziddiyat. Kantor paradoksi. P(A) – A to’plamning barcha qism to’plamlari oilasi va P(A)  A , ya`ni | P(A)|  | A| bo’lsin. Ammo, boshqa tomondan olib qaraydigan bo’lsak, ixtiyoriy A to’plam uchun | P(A)|  | A| . U holda Kantor – Bernshteyn teoremasiga ko’ra | P(A)|  | A| bo’lishi kerak. Bu esa ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan A to’plamning barcha qism to’plamlari to’plamining quvvati A to’plamni o’zining quvvatidan katta bo’ladi, teoremaga zid.

Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi. To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin: 1) sinflar; 2) to’plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar. To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi. Har bir to’plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.
Matematikada, shu jumladan, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to‘plamlar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar to‘plami, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar to‘plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar to‘plami, natural sonlar to‘plami, koinotdagi yulduzlar to‘plami, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.
To‘plamlar nazariyasiga fan sifatida XIX asrning oxirida matematikani standartlashtirish bo‘yicha o‘z dasturini taklif etgan Kantor¹ tomonidan asos solingan deb hisoblansada, to‘plamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano² shug‘ullangan.
Kantor fikricha, istalgan matematik ob’yekt (shu jumladan, to‘plamning o‘zi ham) qandaydir to‘plamga tegishli bo‘lishi shart. Berilgan xossaga ega bo‘lgan barcha ob’yektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to‘plam deb tushungan edi. Umuman olganda, to‘plam tushunchasiga qat’iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab bo‘lmaydi. Masalan, to‘plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to‘plam so‘ziga sinonim bo‘lgan “majmua” so‘zidan foydalangan.Umuman olganda, to‘plam so‘zining lug‘aviy ma’nosiga ko‘ra, uni tashkil etuvchilarni bir joyga to‘plash (yig‘ish, jamlash) tushunilsada, matematikada to‘plam deganda bunday yig‘ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilarni birgalikda to‘plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir umumiy xossaning (belgining) mavjudligi yetarlidir.
To‘plamni tashkil etuvchilar shu to‘plamning elementlari deb ataladi. To‘plamlar nazariyasida to‘plamning elementlari bir-biridan farqli deb hisoblanadi, ya’ni muayyan bir to‘plamning elementlari takrorlanmaydi.
To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa, cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz.
To‘plamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qo‘llaniladi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, to‘plamning elementlardan tuzilganligini ko‘rinishda yozish mumkin. Ko‘pincha (masalan, cheksiz to‘plam yoki to‘plamning elementlari juda ko‘p bo‘lgan holda) to‘plamni belgilashda figurali qavslar orasida, avvalo, to‘plamni tashkil etuvchi elementning umumiy belgisi yozilib, undan so‘ng “|” yoki “:” belgisi qo‘yiladi, keyin esa, ifodalanayotgan to‘plamning barcha elementlariga xos shartlar yoziladi. Bunda, yozuvni murakkablashtirmaslik maqsadida, ba’zi qisqartirishlarga yoki tushuntiruvchi so‘zlarning qavslardan tashqarida yozilishiga yo‘l qo‘yiladi. Masalan, toq natural sonlar to‘plamini deb belgilasak, uni , bunda – natural son, yoki ³ ko‘rinishda yozish mumkin
boshqacha ifodalash ham mumkin. to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud va, aksincha, to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud bo‘lsa, u holda va to‘plamlar tengdir. va to‘plamlarning tengligini yoki ko‘rinishda ifodalaymiz. Aslida, bo‘lsa, u holda va to‘plamlar aynan bitta to‘plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o‘nlik sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan biri bo‘lgan natural sonlar to‘plamini bilan, birni qo‘shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamini esa bilan belgilasak, u holda bo‘ladi. yozuv to‘plamlardagi elementlarning qaysi tartibda joylashishiga bog‘liq emas. Albatta, to‘plamdagi elementlarni qaysi tartibda qo‘yish masalasi ham dolzarbdir.
va to‘plamlar teng bo‘lmasa, u holda bu holat yoki ko‘rinishda ifodalanadi.
To‘plamlar nazariyasida quvvat eng muhim tushunchalardan biri bo‘lib, u to‘plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To‘plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo‘lishiga qarab ta’riflanadi. Quvvat tushunchasi to‘g‘risida batafsil ma’lumotni to‘plamlar nazariyasiga bag‘ishlangan manbalardan topish mumkin (masalan, [30-33]). Kombinatorika va graflar nazariyasida, asosan, chekli to‘plamlar bilan ish ko‘riladi. Shu sababli, to‘plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to‘plamlar uchun keltirish bilan chegaralanamiz.
Chekli to‘plamning elementlari soniga shu to‘plamning quvvati deyiladi. Berilgan to‘plamning quvvati ko‘rinishda belgilanadi.

1

2

3belgilanadi. Ushbu ifoda va ning tartiblanmagan juftligi deb ataladi. Agar va to‘plamlar teng bo‘lsa, u holda bitta elementdan iboratdir.
Hozirgi zamon to‘plamlar nazariyasi aksiomalar^ tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi. To‘plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo^-Frenkel^ aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To‘plamlar nazariyasida, ko‘pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo‘shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi bilan ish ko‘riladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neyman^-Berneys^-Gyodel^ tizimi.
Quyida tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimiga kiruvchi ba’zi aksiomalarni keltiramiz.