To`plamlar

5-ta’rif. Agar tо‘plam ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bо‘lsa, chegaralangan tо‘plam deyiladi.
6-ta’rif. Agar ixtiyoriy soni olinganda ham shunday elementi topilsaki, tengsizlik bajarilsa, ya’ni

bо‘lsa, tо‘plam yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.
7-ta’rif. Agar ixtiyoriy soni olinganda ham shunday elementi topilsaki, tengsizlik bajarilsa, ya’ni

bо‘lsa, tо‘plam quyidan chegaralanmagan deyiladi.
Masalan,
1) tо‘plam yuqoridan chegaralangan;
2) tо‘plam quyidan chegaralangan;
3) tо‘plam chegaralangan;
4) tо‘plam yuqoridan chegaralanmagan;
5) tо‘plam quyidan chegaralanmagan bо‘ladi.
Endi sonlar tо‘plamining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralari tushunchalarini keltiramiz.
Aytaylik, tо‘plam va soni berilgan bо‘lsin.
8-ta’rif. Agar
1) soni tо‘plamning yuqori chegarasi bо‘lsa,
2) tо‘plamning ixtiyoriy yuqori chegarasi uchun tengsizlik bajarilsa, soni tо‘plamning aniq yuqori chegarasi deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Demak, tо‘plamning aniq yuqori chegarasi, uning yuqori chegaralari orasida eng kichigi bо‘ladi.
9-ta’rif. Faraz qilaylik, tо‘plam va soni berilgan bо‘lsin. Agar
1) son tо‘plamning quyi chegarasi bо‘lsa,
2) tо‘plamning ixtiyoriy quyi chegarasi uchun tengsizlik bajarilsa, soni tо‘plamning aniq quyi chegarasi deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Demak, tо‘plamning aniq quyi chegarasi, uning quyi chegaralari orasida eng kattasi bо‘ladi.
“sup” va “inf” lar lotincha “supremum” va “infimum” sо‘zlaridan olingan bо‘lib, ular mos ravishda eng yuqori, eng quyi degan ma’nolarni anglatadi.
1-teorema. Faraz qilaylik, tо‘plam va soni berilgan bо‘lsin. a soni tо‘plamning aniq yuqori chegarasi bо‘lishi uchun
1) soni tо‘plamning yuqori chegarasi,
2) sonidan kichik bо‘lgan ixtiyoriy uchun tо‘plamda tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonining topilishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik, bо‘lsin. 8-ta’rifga binoan:
1)  uchun , ya’ni soni tо‘plamning yuqori chegarasi;
2) soni yuqori chegaralar orasida eng kichigi. Binobarin, dan kichik soni uchun bо‘lgan soni topiladi.
Yetarliligi. Teoremaning ikkala sharti bajarilsin. Bu holda, ravshanki, shartni qanoatlantiruvchi har qanday soni tо‘plamning yuqori chegarasi bо‘lolmaydi. Demak, ‑ tо‘plamning yuqori chegaralari orasida eng kichigi. Unda ta’rifga kо‘ra bо‘ladi. ►
Xuddi shunga о‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
2-teorema. Faraz qilaylik, tо‘plam va soni berilgan bо‘lsin. soni tо‘plamning aniq quyi chegarasi bо‘lishi uchun
1) soni tо‘plamning quyi chegarasi,
2) sonidan katta bо‘lgan ixtiyoriy uchun tо‘plamda tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonining topilishi zarur va yetarli.
Eslatma. Agar tо‘plam yuqoridan chegaralanmagan bо‘lsa, u holda
,
quyidan chegaralanmagan bо‘lsa, u holda

deb olinadi.