To‘plamlar va ular ustida amallar to‘plamlar va ularga doir tushunchalar

Masala: Korxonada ishlab chiqarilgan 300 dona mahsulot sifati tekshirildi. Bunda mahsulot oliy navli, I navli, II navli yoki sifatsiz bo‘lishi mumkin deb hisoblanadi. Tekshiruv natijalaridan 270 dona mahsulot sifatli va 150 dona mahsulot oliy navli emasligi ma’lum. I va II navli mahsulotlarning umumiy sonini toping.
Yechish: Tekshiruvda sifatli deb topilgan mahsulotlar to‘plamini A, oliy navli bo‘lmagan mahsulotlar to‘plamini B kabi belgilaymiz. Masala shartiga asosan m(A)=270 va m(B)=150 ekanligi ma’lum. To‘plamlar birlashmasi ta’rifiga asosan АВ korxonada ishlab chiqarilgan barcha mahsulotlar to‘plamini ifodalaydi shu sababli m(АВ)=300 bo‘ladi. To‘plamlar kesishmasi ta’rifiga asosan AB tekshiruv natijasida sifatli va oliy navli bo‘lmagan, ya’ni I yoki II navli deb baholangan mahsulotlar to‘plamini ifodalaydi. Unda, yuqorida isbotlangan formuladan foydalanib, masala javobini quyidagicha topamiz:
m(АВ)=m(A)+m(B)–m(AB) m(AB)=m(A)+m(B)–m(АВ)=
=270+150–300=120.
Demak, I va II navli mahsulotlarning umumiy soni 120 dona ekan.
2.2. Cheksiz to‘plamlar. Endi cheksiz to‘plam tushunchasini kiritamiz va u bilan bog‘liq tasdiqlar bilan tanishamiz.
5-TA’RIF: Chekli bo‘lmagan А to‘plam cheksiz to‘plam deyiladi.
Masalan, natural sonlar to‘plami N={1, 2, 3, ∙ ∙ ∙, n , ∙ ∙ ∙}, Q={Ratsional sonlar} , A={ [0;1] kesmadagi nuqtalar}, B={sinx=a ( 1) tenglama ildizlari} va
D={Tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar} kabi to‘plamlar cheksiz bo‘ladi.
A va B chekli to‘plamlarni ularning elеmеntlari soni m(A) va m(B) bo‘yicha m(A)>m(B), m(A)=m(B), m(A)1 – u s u l : А iq В to‘plamdagi elеmеntlar soni m(A) va m(B) bevosita sanash orqali topiladi va so‘ngra ular o‘zaro taqqoslanadi.
2 – u s u l : Har bir aА elementga bitta va faqat bitta bB elеmеntini mos qo‘yamiz. Agar bu mos qo‘yishda A to‘plamdagi elеmеntlar ortib qolsa (ya’ni bir qancha aА elementlarga B to‘plamda ularga mos qo‘yiladigan elementlar yetmay qolsa), unda m(A)>m(B) va aksincha, B to‘plamning elеmеntlari ortib qolsa, m(A)Masalan, А={Viloyatdagi firmalar}, В={ Viloyatdagi auditorlar} to‘plamlarni ulardagi firmalar va auditorlar sonini sanamasdan, 2- usulda taqqoslaymiz. Buning uchun har bitta firmaga bittadan auditorni jo‘natamiz. Agar bir qism firmalarga jo‘natish uchun auditorlar yetmay qolsa, unda m(A)>m(B); hamma firmalarga auditorlar jo‘natilib, ularning bir qismi ortib qolgan bo‘lsa, unda m(A)Har qanday chekli A to‘plamning elеmеntlar soni har qanday cheksiz B to‘plamdagi elеmеntlar sonidan kichik ekanligi tushunarli. Endi A va B cheksiz to‘plamlar bo‘lsin. Bu holda ularni elemetlari soni bo‘yicha o‘zaro taqqoslash masalasi paydo bo‘ladi. Bunda A va B cheksiz to‘plamlar bo‘lgani uchun bu masalani 1–usul bilan hal qilib bo‘lmaydi. Ammo 2–usul bilan cheksiz to‘plamlarni o‘zaro taqqoslash mumkin. Buning uchun to‘plamlarning ekvivalentligi tushunchasidan foydalanamiz.
6-TA’RIF: Agar A va B to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatib bo‘lsa, bu to‘plamlar ekvivalent deyiladi va A~B kabi belgilanadi.
Masalan, А={toq sonlar}, В={juft sonlar} bo‘lsin. Unda A 2n–12nB, ya’ni 12, 34, 56, ∙ ∙ ∙, 2n–12n, ∙ ∙ ∙ ko‘rinishda A va B to‘plam elеmеntlari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin va shu sababli A~B bo‘ladi. Demak A va B to‘plamlar ekvivalent, ya’ni A~B bo‘lsa, ularni elеmеntlar soni bo‘yicha bir xil deb qarash mumkin.
2-TЕORЕMA: Agarda АВ, ВС bo‘lsa, unda АС bo‘ladi.
Isbot: АВ bo‘lgani uchun A а  b В va ВС bo‘lgani uchun В b  с С. Unda A а  с С dеsak, A vа С to‘plamlar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi, ya’ni АС bo‘ladi.
7-TA’RIF: Agar A~B bo‘lsa, ular teng quvvatli to‘plamlar deb ataladi.
Chekli A va B to‘plamlarning quvvati ulardagi elementlar soni m(A) va m(B) kabi aniqlanadi. Shu sababli chekli A va B to‘plamlar ekvivalent, ya’ni teng quvvatli, bo‘lishi uchun ularning elemetlari soni m(A)=m(B) shartni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.