Topologik fazolarning kardinal xossalari

1.3-Ta’rif: topologik fazoning nuqtasi berilgan bo’lib, agar bu nuqtaning atrofi to’plamning birorta nuqtasini o’zida saqlasa, ya’ni . bo’lsa, u holda nuqta to’plamning urinish nuqtasi deyiladi.
Topologik fazoda to’plamning barcha urinish nuqtalaridan iborat to’plam uning yopig’i deyiladi va ko’rinishida belgilanadi.
1.1-Teorema: Har qanday to’plam uchun yopiq to’plamdir
Isbot. yopiq to’plam ekanligini isbotlash uchun ning ochiq to’plam ekanligini isbotlaymiz. nuqtani qaraylik. Demak, Shuning uchun ya’ni nuqta ning ichki nuqtasidir. Hamma nuqtalari ichki nuqta bo’lgan to’plam ochiq to’plamdir. ochiq to’plamdir. Demak, yopiq to’plam ekan.
1.4-Ta’rif: topologik fazoning bo’lsin. Agar ochiq to’plam bo’lib, bo’lsa to’plam ning atrofi deyiladi. Shunday qilib nuqta tegishli bo’lgan ixtiyoriy ochiq to’plam shu nuqtaning atrofi deyiladi.
1.5-Tarif: bo’lib, nuqtaning birorta atrofi uchun munosabat bajarilsa nuqta to’plamning ichki nuqtasi deyiladi.
to’plamning ichki nuqtalar to’plamini bilan belgilaymiz.
1.2-Teorema: to’plam ochiq to’plam bo’lishi uchun tenglik bajarilishi zarur va yetarli.
1.6-Ta’rif: Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofi uchun munosabatlar bajarilsa nuqta to’plamning chegaraviy nuqtasi deyiladi. Chegaraviy nuqtalar to’plamini ko’rinishida belgilanadi.
Biror bir bo’sh bo’lmagan to’plamda ma’lum bir topologiyani kiritish uchun uning barcha ochiq to’plamlarini ko’rsatish doimo ham shart emas. Buning uchun uning biron-bir ochiq to’plamlari oilasini ko’rsatish yetarlidir.
1.7-Ta’rif: Agar fazoning har qanday bo’sh bo’lmagan ochiq qism to’plamini biror oilaga tegishli to’plamlarning birlashmasi shaklida yozish mumkin bo’lsa, u holda oila topologik fazoning bazasi deyiladi.

1.3-Misol. _{haqiqiy sonlar to’plami, barcha} lar uchun shunday mavjud bo’lib bo’ladigan _{to’plamlar oilasini} bilan belgilaymiz. Ravshanki _{oila 1)-3) shartlarni qanoatlantiradi va topologiya hosil qiladi. topologiya haqiqiy sonlar to’plamidagi tabiiy topologiya deyiladi.}
1.4-Misol. Ixtiyoriy to’plam berilgan bo’lsin. Qism to’plamlar oilasi sifatida va shunday qism to’plamlarini olamizki to’plam chekli to’plamdan iborat bo’lsin ya’ni Bu to’plamlar oilasi ham topologiya hosil qiladi. Bu topologik fazo Zarisskiy fazosi deb ataladi.