Tor va aralas

Mavzu: Vektorlarni vektor va aralash ko’paytmasi

Reja: 1. Asosiy tushunchalar
2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va uning xossalari

3. Uch vektorning aralash ko’paytmasi va uning xossalari.

4. Mavzuga doir misollar.

1. Asosiy tushunchalar 1.1. Tartiblangan sistema.
Agar uch vektordan iborat sistema ma’lum tartibda (1-chi, 2-chi, 3-chi) berilgan bo’lsa, bunday sistema tartiblangan sistema deyiladi.

Uchta 𝑎,𝑏,𝑐komplanar bo’lmagan tartiblangan vektorlar berilgan bo’lsin. Bu vektorlarni umumiy boshlang’ich nuqtaga keltiramiz.


O’ng uchlik ^{Chap uchlik}
1.2. O’ng va chap uchliklar

𝑐vektor uchidan qaraganda 𝑎vektordan 𝑏vektorga eng qisqa burilish soat mili aylanishiga teskari yo’nalishda bo’lsa, u holda bu vektorlar uchligini o’ng uchlik deyiladi.

Aksincha bu vektorlar uchligi chap uchlik tashkil etadi deyiladi.

Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi ham o’ng va chap sistemalarga bo’linadi.

O’ng sistema Chap sistema
2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va xossalari

1-Ta’rif. 𝑎vektorni 𝑏vektorga vector ko’paytmasi deb, shunday 𝑐vektorga aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.

1) 𝑐⊥𝑎va 𝑐⊥𝑏;

2) 𝑎, 𝑏, 𝑐vektorlar o’ng uchlikni tashkil etadi.

3) 𝑐vektorni uzunligi 𝑎va 𝑏 parallelogram yuziga teng


vektorlarda yasalgan bo’ladi. Ya’ni

𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙sin𝜑 (1)

𝑎va 𝑏vektorlarning vektor ko’paytmasi 𝑎 ×𝑏ko’rinishda belgilanadi.
𝑐 = 𝑎 × 𝑏 =𝑆_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙} (2) Vektor ko’paytmaning xossalari 1^°.𝑎 × 𝑏 =−𝑏×𝑎 2^°.(λ𝑎)×𝑏= λ(𝑎×𝑏)
3^°.𝑎 × 𝑏+𝑐 =𝑎 × 𝑏+𝑎 × 𝑐 4^°. 𝑎 × 𝑎 =𝑏×𝑏 =0
5^°. 𝑖 × 𝑖=𝑗×𝑗 =𝑘×𝑘 =0
Vektor ko’paytmani determinant orqali hisoblash.

Aytaylik 𝑎va 𝑏vektorlar 𝑖,𝑗, 𝑘ortlar orqali yoyilgan bo’lsin.

Ya’ni 𝑎=𝑥₁𝑖+𝑦₁𝑗+𝑧₁𝑘,𝑏=𝑥₂𝑖+𝑦₂𝑗+𝑧₂𝑘

Bu holda vector aniqlanadi:
ko’paytma quyidagi formulalardan

𝑖 𝑗 𝑘
_𝑎 ×𝑏= ^𝑥₁ ^𝑦₁ ^𝑧₁ (3) 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂

1 1
𝑎va 𝑏vektorlarda yasalgan uchburchak yuzi

𝑆_∆ =₂𝑆_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙} =₂ 𝑎 × 𝑏
3. Uch vektorni aralash ko’paytmasi va xossalari.

Uchta 𝑎,𝑏,𝑐komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin.