Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni taqribiy yechish

Ikkinchi tartibli differentsial tenglama berilgan bo’lsin:

F(x, y, y^, y^)  0
(7.1)

Ikki nuqtali chegaraviy masala (7.1) uchun quyidagicha qo’yiladi: ^{a, b}

kesma ichida (7.1) tenglamani qanoatlantiruvchi va kesmaning oxirida esa

^1 ^{y(a), y(a)} ^{ 0}_
(7.2)

^  ^{y(b), y(b)} ^{ 0}_
2



chegaraviy shartlar qanoatlantiruvchi

y  yx

funktsiyani topish talab qilinadi.

(7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlar chiziqli bo’lgan holni qaraylik. Bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deyiladi. U holda differentsial tenglama va chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

y^  p(x) y^  q(x) y  f (x)

^{0 y(a)  1y(a)  A}

(7.3)
(7.4)

 y(b)   y^(b)  B ^

0 1 

bu erda

px,

qx,

f x

- ^{a, b}

kesmada uzluksiz bo’lgan berilgan funktsiyalar,

₀ ,₁, ₀ , ₁, A, B

- berilgan o’zgarmaslar bo’lib

₀  ₁

^{ 0} va

₀  ₁

 0 shartni qanoatlantiradi.

Agar

A  B  0

bo’lsa, u holda (7.4) chegaraviy shart bir jinsli deyiladi.

Qaralayotgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimini topish usullari ikki guruhga bo’linadi: analitik va ayirmali usullar.

Chegaraviy masalalarni yechishning eng sodda usullaridan biri chekli ayirmalar usulidir.

a, b

Usulning yoritilishi

kesmani uzunligi h bo’lgan ⁿ ta teng kesmalarga ajratamiz, bu yerda

^{h  b  a} . Bo’linish nuqtalarining abtsissasi

n

x_i  x₀

• 
  ih,
  

(i  1, 2,3,..., n 1), x₀  a,

x_n  b

kabi bo’ladi. Bo’linish nuqtalari

^xi lar uchun

y  y(x)

funktsiya va uning

y^(x),

y^(x)

hosilalarini

y_i  y(x_i ),

y_i^  y^(x_i )

kabi

belgilaymiz. Bulardan tashqari quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

p_i  p(x_i ),

q_i  q(x_i ),

f_i 

f (x_i )

Har bir ichki tugunlarda

y^(x_i ),

y^(x_i )

hosilalarni taqribiy chekli ayirmalar

_{y } ^yi 1 ^{ y}i _{, y} ^yi  2 ^{ 2 y}i 1 ^{ y}i

(7.5)

i _h i _h2

kesmaning chetlarda esa

y^  ^{y1  y0} ,

_{y } ^yn ^{ y}n1

(7.6)

0 _h n _h
chekli ayirmalar bilan almashtiramiz.

(7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni (7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

^yi2 ^{ 2 y}i1 ^{ y}i _{ p}

^{yi1  yi}  q y  f ^

h^{2 i} h

i i i _

y  y y  y ^

(7.7)

 y  

^{1 0}  A,  y

_{ } n n1 _{ B}

0 0 1 _h 0 n 1 _{h }

Agar

^{y(xi )} va

y^(x_i )

lar o’rniga markaziy ayirmalarni qo’llasak yanada aniqroq

formulalarni hosil qilamiz, ya’ni

U holda

y_i^ 

^yi1 ^{ y}i1 _, 2h

y_i^

^yi1 ^{ 2 y}i ^{ y}i1 <sub>.

h</sub>2

^yi1 ^{ 2 y}i ^{ y}i1 _{ p} ^yi1 ^{ y}i1 _{ q y  f} ^



h^{2 i} 2h

i i i _

y  y y  y ^,

(7.7)

 y  

1 0 _{ A,}

 y  

n n1 _{ B}

0 0 1 _h 0 n 1 _{h }

sistemani hosil qilamiz. Shunday qilib, har ikkala holda ham ^{n 1} ta

noma’lumlarga ega bo’lgan

n 1

chiziqli algebraik tenglamadan iborat bo’lgan

sistemaga ega bo’ldik. Agar ushbu sistemani yechish mumkin bo’lsa, u holda izlanayotgan funktsiyaning taqribiy qiymatlarini jadval shaklida hosil qilamiz. (7.1)-(7.2) chegaraviy masalaga chekli ayirmalar usulini qo’llashdan chiqadigan xatoligi quyidagicha bo’ladi:

y_i  y(x_i ) 

h²M

96

(b  a)²

Bu yerda

M  max y⁽⁴⁾ (x) _.

[a,b]

^{y(xi )} -

x  x_i

bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va