Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish


Ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni taqribiy yechish


Download 306.97 Kb.
bet9/20
Sana05.12.2020
Hajmi306.97 Kb.
#159867
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   20
Bog'liq
matematik va kompyuterli modellashtirish asoslari maruzalar torlami -конвертирован

Ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni taqribiy yechish


Ikkinchi tartibli differentsial tenglama berilgan bo’lsin:

F(x, y, y, y) 0
(7.1)

Ikki nuqtali chegaraviy masala (7.1) uchun quyidagicha qo’yiladi: a, b

kesma ichida (7.1) tenglamani qanoatlantiruvchi va kesmaning oxirida esa



1 y(a), y(a) 0
(7.2)

y(b), y(b) 0
2




chegaraviy shartlar qanoatlantiruvchi

y yx

funktsiyani topish talab qilinadi.



(7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlar chiziqli bo’lgan holni qaraylik. Bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deyiladi. U holda differentsial tenglama va chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

y p(x) y q(x) y f (x)

0 y(a) 1y(a) A

(7.3)
(7.4)



y(b) y(b) B

0 1 


bu erda

px,

qx,

f x

- a, b

kesmada uzluksiz bo’lgan berilgan funktsiyalar,


0 ,1, 0 , 1, A, B

- berilgan o’zgarmaslar bo’lib




0 1

0 va

0 1

 0 shartni qanoatlantiradi.




Agar

A B 0

bo’lsa, u holda (7.4) chegaraviy shart bir jinsli deyiladi.



Qaralayotgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimini topish usullari ikki guruhga bo’linadi: analitik va ayirmali usullar.

Chegaraviy masalalarni yechishning eng sodda usullaridan biri chekli ayirmalar usulidir.




a, b

Usulning yoritilishi


kesmani uzunligi h bo’lgan n ta teng kesmalarga ajratamiz, bu yerda

h b a . Bo’linish nuqtalarining abtsissasi

n

xi x0

  • ih,

(i 1, 2,3,..., n 1), x0 a,

xn b

kabi bo’ladi. Bo’linish nuqtalari



xi lar uchun

y y(x)

funktsiya va uning



y(x),

y(x)

hosilalarini

yi y(xi ),

yi y(xi )

kabi


belgilaymiz. Bulardan tashqari quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

pi p(xi ),

qi q(xi ),

fi

f (xi )

Har bir ichki tugunlarda

y(xi ),

y(xi )

hosilalarni taqribiy chekli ayirmalar



y yi 1 yi , y yi 2 2 yi 1 yi

(7.5)


i h i h2

kesmaning chetlarda esa



y y1 y0 ,

y yn yn1

(7.6)


0 h n h
chekli ayirmalar bilan almashtiramiz.

(7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni (7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:



yi2 2 yi1 yi p

yi1 yi q y f



h2 i h

i i i

y y y y

(7.7)


y

1 0 A, y

n n1 B

0 0 1 h 0 n 1 h

Agar

y(xi ) va

y(xi )

lar o’rniga markaziy ayirmalarni qo’llasak yanada aniqroq



formulalarni hosil qilamiz, ya’ni

U holda



yi

yi1 yi1 , 2h

yi

yi1 2 yi yi1 .

h2

yi1 2 yi yi1 p yi1 yi1 q y f



h2 i 2h

i i i

y y y y ,

(7.7)


y

1 0 A,

y



n n1 B

0 0 1 h 0 n 1 h

sistemani hosil qilamiz. Shunday qilib, har ikkala holda ham n 1 ta



noma’lumlarga ega bo’lgan

n 1

chiziqli algebraik tenglamadan iborat bo’lgan



sistemaga ega bo’ldik. Agar ushbu sistemani yechish mumkin bo’lsa, u holda izlanayotgan funktsiyaning taqribiy qiymatlarini jadval shaklida hosil qilamiz. (7.1)-(7.2) chegaraviy masalaga chekli ayirmalar usulini qo’llashdan chiqadigan xatoligi quyidagicha bo’ladi:

yi y(xi ) 

h2M

96


(b a)2

Bu yerda

M max y(4) (x) .

[a,b]



y(xi ) -

x xi

bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va






Download 306.97 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling