Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Runge-Kutta usuli

i 1

i i i i

Berilgan x₀ , b

tenglama

kesmada hosilaga nisbatan echilgan birinchi tartibli differentsial

dy _

dx

f (x, y)

(1)

berilgan bo’lsin va

10. 
     x₀
    

nuqtada

y  y₀

boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.

_{h } b  x₀

n
qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz:

10. 
     x₀
    

• 
  ih va
  

y_i  yx_i  i  1,2,3,..., n. Quyidagi sonlarni qaraymiz:

_ ⁱ _ ^

_{h K} ⁱ _

K ^i  hf x , y , K hf _ x 

, y  ¹ _

^{1 i i} 2

_ i ₂ i _{2 }

ⁱ

_{ h K} ⁱ _


ⁱ ⁱ

K₃  hf _ x_i  , y_i  ² _,

K₄  hf _x_i  h,

y_i  K_{3 }

(3)

_ 2 2 _

Runge – Kutta usuli bo’yicha

x_i1  x_i  h

nuqtada taqribiy yechimning

^yi1

qiymati quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi

y_i1  y_i  y_i
(4)

bu erda y

 ¹ K ^i  2K ^i  2K ^i  K ^i  i  0,1,2,...

i ₆ 1

2 3 4

Bu usul bo’yicha bajariladigan hisoblashlar quyidagi jadvalga sxema bo’yicha joylashtiriladi:
1 –jadval:

i	x	y	K  H  f x, y	y
0	x0	y0	K 0 1	K 0 1

	x  ^H 0 2	K 0 y  1 0 2	K 0 2	K 0 2
	x  ^H 0 2	K 0 y  2 0 2	K 0 3	K 0 3
	x0  H	y  K 0 0 3	K 0 4	K 0 4
				y0
1	x1	y1

1 — jadvalni to’ldirish tartibi.

1. 
   Jadvalning birinchi satriga
   

x₀ , y₀

berilgan qiymatlarni yozamiz.

2. 
   ^{f x}₀ ^{, y}₀ ^ ni hisoblab h ga ko’paytiramiz va
   

0

1

K

sifatida jadvalga

yozamiz.

3. 
   Jadvalning ikkinchi satriga
   

x₀ 
_{h K} ⁰

, y₀  ¹

larni yozamiz.

2 2

jadvalga yozamiz.
5) Jadvalning uchinchi satriga
x₀ 
_{h K} ⁰

, y₀  ²

larni yozamiz.

2 2

jadvalga yozamiz.

7. 
   Jadvalning to’rtinchi satriga x  h, y  K ^0 larni yozamiz.
   

0 0 3

7. 
   f _x  h, y  K ^0 _ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va
   

_K 0
sifatida

0 0 3 ⁴

jadvalga yozamiz.

7. 
   y
   

ustuniga

_K 0 _{, 2K} 0 _{, 2K} 0 _{, K} 0

larni yozamiz.

1 2 3 4

7. 
   y
   

ustundagi sonlarning yig’indisini 6 ga bo’lib,

y₀

sifatida jadvalga

yozamiz.

7. 
   
   

y₁  y₀  y₀

ni hisoblaymiz.

Keyingi navbatda

(x₁ ,

y₁ ) ni boshlang’ich nuqta sifatida qarab hisoblashlarni

shu singari davom qildiramiz.

Runge-Kutta usuli yordamida EHMlarda qadamni avtomatik tanlab hisoblashlar ikki marta bajariladi. Birinchisida h qadam bilan, ikkinchisida esa

h  ^h

2

qadam bilan. Agar bu holda olingan

y_i ning qiymatlari berilgan aniqlikdan

oshsa, u holda keyingi

qo’llaniladi.

^xi1

nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam

Runge - Romberg qoidasi

^h _va

^h/2

k
y

izlanayotgan funktsiyaning mos

ravishda h va h /2 qadamlarda hisoblangan qiymatlari, hamda  - berilgan
k

y

absolyut xatolik bo’lsin.

Barcha k larda ushbu

_yh  _{ y}H  _{ }

(6)

2k k
tengsizlik bajarilganda berilgan aniqlikdagi hisoblashga erishildi deb hisoblanadi. ^h

va ^{h /2}

qadamlarda izlanayotgan funktsiyaning qiymatlari hisoblanadi va (6)

tengsizlik tekshiriladi. Agar (6) tengsizlik barcha k larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi.

Misol. Runge - Kutta usulida [0, 0,45] kesmada

y^  x  y

differentsial

tenglamaning (Koshi masalasini)

x  0 da

y  1

boshlang’ich shartni

qanoatlantiruvchi taqribiy echimini 0.001 aniqlikda hisoblang.