Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Nyutonning birinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash formulasi.

Bizga

y(x)

funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan

x_i (i  0, 1, 2, ..., n)

nuqtalarda

y_i 

f (x_i )

qiymatlari bilan berilgan bo’lsin.

Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning

y^ 

f ^(x),

y ^ 

f ^(x),...

hosilalarini topish

uchun,

y(x)

funksiyani

x₀ ,

x₁,..., x_k (k  n)

nuqtalardagi Nuyoton interplyasion

formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

y(x)  y

• 
  qy
  

_ q(q 1) <sub>2 y

</sub> q(q 1)(q  2) _{3 y}

 ...

(3)

bu yerda

0 0

_{q } x  x_{0 ;}

h

2!

h  x_i1

0

• 
  x_i ;
  

3! ⁰

i  0, 1, 2, ... .

Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:

y(x)  y₀  qy₀ 

(q²  q) 2
 y₀ 
2


q³  3q²  2q 6
 y₀  ...
3

(4)

Shunday qilib

U holda
dy _ dy _ dq _ 1 dy dx dq dx h dq

_ 1 ^

2q 1 ₂

3q²  6q  2 ₃ ^

y (x)  _{h }y₀  ₂  y₀  ₆  y₀  ..._

(5)

Shu tarzda

ekanligidan

 
_{y(x) } d ( y^) _ d ( y^) _ dq

dx dq dx

_ ^{1 } 2 3

6q² 18q 11 ₄ ^

y (x)  _{h2 } y₀  (q 1)

y₀ 

₁₂  y₀  ..._

(6)

kelib chiqadi.

Shu usul bilan ega bo’lamiz.

y(x)

 
funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga

E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi

y^(x),

y ^(x), ...

hosilalarini

topishda x₀

keladi.

sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga to’g’ri

Bazan,

y(x)

funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan x_i

nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb

faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:

x  x₀ ,

q  0

ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega

_ 1 ^

² y ³ y ⁴ y


⁵ y ^

y (x₀ )  _{h } y₀ 
0

  

2 3 4

₅ ..._

(7)

 

y^(x )  ^{1 }² y

 ³ y  ¹¹ ⁴ y

 ⁵ ⁵ y  ...^

(8)

⁰ _h2 ^{ 0 0} ₁₂ ⁰ ₆ ^{0 }

Agar

 

P_k (x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari

y , ² y , ... , ^k y
0 0 0

hosilasining xatoligi

va mos ravishda xatoligi

R_k (x)  y(x)  P_k (x)

bo’lsa, unda

bo’ladi.

R_k^ (x)  y^(x)  P_k^(x)

Oldingi ma’ruza mashg’ulotlarimizdan ma’lumki, interpolyatsion ko’phad xatoligi quyidagi shaklda:

_{R (x) } (x  x₀ )(x  x₁)...(x  x_k ) _{y(k 1) ( )  hk 1} q(q 1)...(q  k) _{y(k 1) ( )}

^k (k 1)! (k 1)!

Bu yerda  -

x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli

y(x) C^(k2)

0 1 2 k

ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:

R^(x)  ^dRk

• 
  dq _
  

^k dq dx

 _hk

^ (k 1)

d d _



(k 1) _^

(k  1)! <sup> y

( )</sup> _dq ^{q(q 1)...(q  k)} ^{ q(q 1)...} _{dq } ^y

( )_.

 

Shu yerdan bilib

x  x₀ ,

va q  0 hamda

^d _q(q 1)...(q  k)_

dq
q0

 (1)^k k!,

ekanligini

R_k^ (x₀ )  (1)
k


_hk

y

k 1
(k 1)

( ).
(9)

Shunday qilib

_y(k 1) _{( )}

ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h

ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:

demak
_y(k 1)

k 1

( ) ^0
 y


_hk 1

_ (1)^k

_k 1 _y

R_k (x₀ ) 

h k 1 ^.

(11)