Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish


Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash


Download 306.97 Kb.
bet3/20
Sana05.12.2020
Hajmi306.97 Kb.
#159867
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Bog'liq
matematik va kompyuterli modellashtirish asoslari maruzalar torlami -конвертирован

Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash


formulasi.

Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion ko’phad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tug’diradi. Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak bo’ladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi. Bunda ham



y(x)

funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan



xi (i  0, 1, 2, ..., n)

nuqtalarda

yi

f (xi )

qiymatlari bilan berilgan bo’lsa,



y

f (x),

y

f (x),...

hosilalarini topish uchun,

y(x)

funksiyani



x0 ,

x1,..., xk (k n)

nuqtalardagi



Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

y(x)  y

  • qy

q(q 1) 2 y

q(q 1)(q 2) 3 y

...


(12)

bu yerda


0 0

q x xn ;

h

2!

h xi1

0


  • xi ;

3! 0

i  0, 1, 2, ... .

Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:


y(x)  y0 qy0

Shunday qilib



(q2 q) 2
y0
2


q3  3q2 2q 6
y0 ...
3

(13)

U holda


dy dy dq 1 dy dx dq dx h dq


1

2q 1 2

3q2  6q 2 3





y (x) h yn 2 yn 6 yn ...

(14)

Shu tarzda

ekanligidan

 
y(x) d ( y) d ( y) dq ,

dx dq dx



 1 2 3

6q2 18q 11 4





y (x) h2 yn (q 1)

yn

12 yn ...

(15)

kelib chiqadi.

Shu usul bilan ega bo’lamiz.



y(x)

 
funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga



E’tibor bersak, bunda ham x ning belgilangan nuqtasidagi

y(x),

y (x), ...

hosilalarini topishda x0

sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini



olishimizga to’g’ri keladi.

Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb

faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:

x xn ,

q 0

ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega



1 2 y 3 y


4 y 5 y


y (xn ) h yn 2 3 4 5 ...
n

(16)


 


y(x ) 1 2 y

3 y 11 4 y


5 5 y ...

(17)


0 h2 n n 12 n 6 0

Agar


 

Pk (x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari

y , 2 y , ... , k y
0 0 0

hosilasining xatoligi

va mos ravishda, xatoligi

Rk (x) y(x) Pk (x)

bo’lsa, unda



bo’ladi.


Rk (x) y(x) Pk(x)

Interpolyatsion ko’phad xatoligini baholash orqali, differensiallash xatoligi aniqlanadi.

R (x) (x xk )(x xk 1)...(x x0 ) y(k 1) ( ) hk 1 q(q 1)...(q k) y(k 1) ( )

k (k 1)! (k 1)!


Bu yerda -

x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli

y(x) C(k2)

0 1 2 k

ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:





Rk (x)

k

k  


dR dq h


(k 1)


y


( )

d q(q 1)...(q k) q(q 1)... d

y
(k 1)



).


(


dq dx

(k 1)!



dq dq

Shu yerdan


x xn , va
q 0
hamda

d q(q 1)...(q k)

dq
q0

k!,
ekanligini bilib

quyidagiga ega bo’lamiz:

hk (k 1)





Rk (x0 )  k 1 y

( ).

(18)



Shunday qilib

y(k 1) ( )

ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h



ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
0



y(k 1)
( )

k 1 y hk 1

demak
1 k 1 y


Rk (x0 )  h k 1 .

(19)


Misol1. Jadvalda keltirilgan

y lg x

funksiyaning qiymatlaridan foydalanib



y(50)

ning qiymatini birinchi interpolyatsion almashtirishda foydalanib



hisoblang.

x

y

y

2 y

3 y

50

1,6990

414

-36

5

55

1,7404

378

-31




60

1,7782

347







65

1,8129











Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan to’ldiramiz, (8) formuladan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz:

Haqiqatdan ham



y(50) 1 (0,0414 0,0018 0,0002) 0,0087.

5



y 1 1

1 1

 0,0087.



x x ln10 50 2,302585
Ko’rinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil.

Download 306.97 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling