Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Adabiyotlar:

1. 
   Ю. Ю. Тарасевич. Математическое и компьютерное моделирование. Изд. 4-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. 152 с.
   
2. 
   Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. Издательство «Наука» Москва 1986
   
3. 
   Е. В. Бошкиново и др. Численное методы и их реализация в MS Excel. Самара 2009
   
4. 
   Ю. В. Василков, Н. Н. Василкова. Компьютерные технологии вычилений в математическом моделировании. Изд. «Финансы и статистика» М.:2002
   
5. 
   А. С. Амридинов, А. И. Бабаяров, Б. Б. Бабажанов. «Ҳисоблаш математикаси» фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича услубий тавсиялар ва топшириқлар. Самарқанд: СамДУ нашри. 2008.
   

Aniq integralni taqribiy hisoblash

Quyidagi

b

I  f   _ f xdx

a
aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu erda

^{a, b} oraliqda uzluksiz.

f x
(1)
funksiya

Berilgan funksiyani ^{a, b} oralig’ini ⁿ ta uzunligi

_{h } b  a

n

ga teng bo’lgan

^{x0, x1,x1, x2 ,.....,xn1, xn } kesmalarga ajratamiz.

Agar tugunlarda belgilasak

f x

ning qiymatini

y_i 

f x_i  i  0,1,2,..., n

kabi

b

   

 <sup>y0

yn</sup> 

I f  _ f

a

x dx  h<sub>

</sub> 2

 y₁  y₂  ......  y_n1  _{2 }

(2)

hosil qilmiz. Ushbu (2) formula umumiy trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu



formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi ^{y  f x} funktsiyaning

grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan iboratdir.

Faraz qilaylik

n  2m

juft son bo’lsin. ^{a, b}

integrallash oralig’ini ⁿ ta

uzunligi

_{h } b  a _ b  a

ga teng bo’lgan ^{x , x ,x , x}

,.....,x , x 

kesmalarga

n 2m

0 1 1 2

n1 n

ajratamiz. Berilgan funksiyani har bir kesmasini parabolik funksiya bilan almashtirsak

b _h

^I  ^f  ^ _ ^f  ^x^{dx  }_ ^{y0  y2m}  ^{ 4} ^{y1  y3   y2m1}  ^
3


a

^{ 2} ^{y2  y4  ......  y2m2} ^_

bo’ladi. Keltirilgan (3) formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi.

(3)

Ushbu keltirilgan (3) formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi

y  f x

funktsiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan

almashtirishdan iboratdir.

Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

Nyuton-Kotes formulalari J ^NK ( f ) .
h


J ( f )  int( f , a,b)) integralni hisoblash uchun Lagranj interpolyatsion ko’phadi

formulasidan foydalanamiz:
J ^NK ( f )  J (L ( f ; x)) 
h n



b

_ L_n ( f ; x)dx  _a
b



n n




_ f (x_i )l_i (x)dx  _ f (x_i ) p_i

(1)

bu yerda

a
p  l (x)dx 
b


i0

b _ x  x_{j dx}

i0

(2)

i _a i

^{a ji x}i ^{ x}j

1. 
   formula
   

x_i1 - x_i  h , hol uchun Nyuton - Kotes formulasi deyiladi, (2) Nyuton -

Kotes koeffitsientlari deyiladi. (2) da x  x  th almashtirishni bajarsak

dx  hdt, x  t, a  0,b  n, h  (b - a)/ n va

_{p } b  a ⁿ _(1)ni t(t 1)...(t  n) _dt

(3)

i _{n 0}

i!(n  i)!(t  i)

ko’rinishni hosil qilamiz. (3) ni hosil qilishda

x - x_j  (t - j)h, x_i - x_j

 (i - j)h

tengliklardan foydalandik.

To’g’ri to’rtburchaklar formulasi

J ^TT ( f ) .
h

Kvadratura formulasi (integral yig’indi)

_b n

J ( f )  _a

f (x)dx

 _p_if(_i )

i=0

(4)

da _i  x_i  h / 2,

p_i  h,

i  0, 1, ..., n 1

deb ushbu markaziy to’g’ri to’rtburchaklar

formulasi

J ^TT ( f )

ga kelamiz:

n1 n1
h


J ^TT ( f )  h_ f (x  h / 2) h_ f _ .
h i i 0.5


i0 i0

Markaziy to’g’ri to’rtburchaklar formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada

ko’rsatilgan asoslari h va

f (x_i  h / 2)

ga teng to’g’ri to’rtburchak yuzalarining

yig’indisi J_h^TT(f) ga almashtirilmoqda.

Trapetsiya formulasi J^T ( f ) .
h

Kvadratura formulasida_i  x_i , p₀  p_n  h / 2, p_i  h,i  1,..., n 1deb olamiz

n1



J^T ( f ) 

^{fi  fi1} h  ^h {f +2(f +...+f )+f }

(5)

h

i0

_{2 2} 0 1 n-1 n

5. 
   formula trapetsiya formulasi deyiladi. Trapetsiya formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada ko’rsatilgan asoslari f_i, f_i+1, h balandlikka ega trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi J_h^T(f) bilan almashtirilmoqda.
   

Simpson formulasi J^C ( f ) .
h

J ( f )

integralni taqribiy hisoblash uchun {(x_i , f (x_i )), i  0,1,..., 2n} jadval olib

xar bir [x_2i , x_2i2 ] {i  0,1,..., 2n - 2 } kesmada Nyutonning ikkinchi darajali ko’pxadini

quramiz. Bu funktsiyalar

[x₀ ; x_2n ]

kesmada uzluksiz ikkinchi darajali (parabolik)

interpolyatsiya splayni S( f , x) ni tashqil qiladi.

 ^{f (x2i )  (x - x2i ) f [x2i , x2i1]}

S ( f , x)  ^(x - x )(x - x ) f [x , x , x ]

(6)

^ 2i

2i1 2i 2i1 2i2

^x  x  x

, i  0.1,..., n -1

 2i
h

2i 2

so’ng

J ( f )  J (S)  J^C ( f )

deb qabul qilamiz va

J^C ( f )

ni Simpson formulasi deb

ataymiz. Ravshanki,
h


C


n1


^x2i2

_h n1

J_h ( f )  _

i0
^x2 i

L_2,i ( f ; x)dx 

^{[ f}2i ^{ 4 f}2i1 ^{ f}2i2 ^{] }

i0
3

^h { f  4( f ...  f )  2( f ...  f )  f }

₃ 0 1 2m1 2 2m2 2m

Oraliq natija quyidagicha yaratiladi. interpolyatsiya ko’phadini integrallaymiz.

[x₀ , x₂ ]

kesmada Nyutonning 2-darajali

Lemma 1. Ushbu sodda Simpson formulasi o’rinli:
x<sub>2

</sub> 2 0 1 2 h 2

N (x)dx h( f  4 f  f ) / 3  J ^C (N ).

x₀

Isbot.

a₀  f₀ , a₁  f [x₀ , x₁], a₂  f [x₀ , x₁, x₂ ] deb quyidagilarni olamiz:

x₂ x₂

 ² 

0 1 0 2 0 1 0 1 2

N (x)dx  (a

x₀ x₀
0 1 2 h 2

• 
  a (x  x )  a (x  x )(x  x )dx  2ha
  

 2a h²  2a h³ / 3

 2hf₀  2h
2

3

( f₁  f₀ ) / h  2 ₃ ( f₀  2 f₁  f₂ ) / 2h

h

2

 h( f  4 f  f ) / 3  J ^C (N ).

Lemma 2.

r^C ( f )  f (x)  J^C ( f )

desak

r^C (x^ )  0,  0,1, 2,3 .

Isbot.   0,1, 2 hollar ravshan,   3 hol elementar ko’rsatiladi:
h h

h

1 (x

• 
  x )
  

x  x 1

(x²  x² ) 3

r^C (x³) 

(x⁴  x⁴)  ^{2 0} [x³  4( ^{0 2} )³  x³] 

(x⁴  x⁴)  ^{2 0} [x²  x²]  0

h ₄ 2 0 ₆ 0 ₂

2 ₄ 2 0

_{6 2} 0 2