Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish
Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash
Download 306.97 Kb.
|
matematik va kompyuterli modellashtirish asoslari maruzalar torlami -конвертирован
Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallashformulasi. Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion ko’phad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tug’diradi. Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak bo’ladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi. Bunda ham y(x) funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan xi (i 0, 1, 2, ..., n) nuqtalarda yi f (xi ) qiymatlari bilan berilgan bo’lsa, y f (x), y f (x),... hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani x0 , x1,..., xk (k n) nuqtalardagi Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz: y(x) y qy q(q 1) 2 y q(q 1)(q 2) 3 y ... (12) bu yerda
0 0 q x xn ; h 2!
0
xi ; 3! 0 i 0, 1, 2, ... . Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz: y(x) y0 qy0 Shunday qilib (q2 q) 2 y0 2 q3 3q2 2q 6 y0 ... 3 (13) U holda
dy dy dq 1 dy dx dq dx h dq 1 2q 1 2 3q2 6q 2 3
y (x) h yn 2 yn 6 yn ... (14)
Shu tarzda
ekanligidan
1 2 3 6q2 18q 11 4 y (x) h2 yn (q 1) yn 12 yn ... (15)
kelib chiqadi. Shu usul bilan ega bo’lamiz. y(x)
olishimizga to’g’ri keladi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb 1 2 y 3 y 4 y 5 y y (xn ) h yn 2 3 4 5 ... n (16)
y(x ) 1 2 y 3 y 11 4 y 5 5 y ... (17)
0 h2 n n 12 n 6 0 y , 2 y , ... , k y 0 0 0 hosilasining xatoligi va mos ravishda, xatoligi
bo’lsa, unda bo’ladi.
Rk (x) y(x) Pk(x) Interpolyatsion ko’phad xatoligini baholash orqali, differensiallash xatoligi aniqlanadi. R (x) (x xk )(x xk 1)...(x x0 ) y(k 1) ( ) hk 1 q(q 1)...(q k) y(k 1) ( ) k (k 1)! (k 1)! Bu yerda - x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli y(x) C(k2) 0 1 2 k ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz: Rk (x) k k dR dq h (k 1) y ( ) d q(q 1)...(q k) q(q 1)... d y (k 1)
( dq dx (k 1)! dq dq Shu yerdan x xn , va q 0 hamda d q(q 1)...(q k) dq q0 k!, ekanligini bilib quyidagiga ega bo’lamiz: hk (k 1) Rk (x0 ) k 1 y ( ). (18)
Shunday qilib y(k 1) ( ) ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin: 0 y(k 1) ( ) k 1 y hk 1 demak 1 k 1 y Rk (x0 ) h k 1 . (19)
hisoblang.
Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan to’ldiramiz, (8) formuladan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz: Haqiqatdan ham y(50) 1 (0,0414 0,0018 0,0002) 0,0087. 5 y 1 1 1 1 0,0087. x x ln10 50 2,302585 Ko’rinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil. Download 306.97 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling