Toshkent axborot texnologiyalari universiteti urganch filiali kompyuter injineringi fakulteti

3.3 Trapetsiyal integrlarni hisoblash va geometrik tavsiflari
Trapezoidal integrallarni hisoblash uchun egri chiziq ostidagi maydonni bir qator trapezoidlar bilan yaqinlashtiradigan Trapezoidal qoidadan foydalanishimiz mumkin. Trapezoidal qoida formulasi:

Bu yerda h = (b-a)/n - har bir trapetsiyaning kengligi, a va b - integrasiya chegarasi, n - yaqinlashishda ishlatiladigan trapetsiya soni. Xi qiymatlari a va b o'rtasida teng masofada joylashgan, i = 0, 1, ..., n uchun xi = a + i*h bilan. Berilgan funksiyaning integraliga yaqinlashish uchun Trapezoidal qoidani amalga oshiradigan Java tilidagi misol dasturi:

Bu misolda f(x) = x^2 funksiyasining integralini a = 0 dan b = 1 gacha bo‘lgan n = 100 trapesiya yordamida yaqinlashtiramiz. Biz funktsiyani lambda ifodasi yordamida aniqlaymiz va uni integrasiya chegaralari va trapetsiya soni bilan birga parametr sifatida integrallash usuliga o'tkazamiz. Usul har bir trapetsiyaning o'rta nuqtasida funktsiya qiymatlari yig'indisini hisoblash uchun for tsiklidan foydalanadi va shu yig'indining ko'paytmasini va har bir trapetsiyaning kengligini qaytaradi.
Dasturning chiqishi quyidagicha:

bu integralning 1/3 ga teng bo'lgan aniq qiymatiga yaqinroqdir.

4. 
   Simpson formulasi va ularning murakkabligini tahlil qilish
   

Bu yerda Java dasturlash tilida Simpson formulasini va ularning murakkabligini tahlil qilishning ba'zi misollari keltirilgan:
1-misol:

Bu misolda biz Simpson formulasidan foydalanib sin(x) funksiyasining integralini hisoblaymiz. Berilgan kirish uchun funksiya qiymatini qaytarish uchun func usulini aniqlaymiz. Keyin, biz integratsiyaning pastki va yuqori chegaralarini, intervallar sonini n va qadam hajmini aniqlaymiz h. Yig'indi o'zgaruvchini f(a) + f(b) qiymatiga ishga tushiramiz, bunda a va b mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari. Keyin Simpson formulasidagi qolgan shartlar yig‘indisini hisoblash uchun for tsiklidan foydalanamiz. Har bir atama uchun biz x qiymatini hisoblaymiz va i juft yoki toq ekanligini tekshiramiz. Agar i juft bo'lsa, yig'indiga 2*f(x) qo'shamiz, agar i toq bo'lsa, yig'indiga 4*f(x) qo'shamiz. Nihoyat, biz Simpson formulasi yordamida integratsiya natijasini hisoblaymiz va uni konsolga chop qilamiz. Ushbu algoritmning vaqt murakkabligi O(n), chunki biz Simpson formulasidagi shartlar yig‘indisini hisoblash uchun n-1 marta ishlaydigan tsikldan foydalanamiz.
2-misol:

Ushbu misolda biz Simpson formulasidan foydalanib, x ^ 2 funktsiyasining integralini hisoblaymiz. Amalga oshirish avvalgi misolga o'xshaydi, func funktsiyasining ta'rifidan tashqari. Biz uni berilgan kirish uchun funksiya qiymatini qaytarish uchun aniqlaymiz. Ushbu algoritmning vaqt murakkabligi ham O(n), chunki biz Simpson formulasidagi shartlar yig‘indisini hisoblash uchun n-1 marta ishlaydigan tsikldan foydalanamiz.