Toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali


Download 64 Kb.
Pdf просмотр
bet3/27
Sana14.08.2018
Hajmi64 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

9

 
 
 
 
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI 
 
 
 
ANIQ FANLAR         1/2018 (14)
 
 
  
милютинский  эпиморфизм 
:
f N
X


,  где 
N

множество натуральных чисел.
 
Назовем  вложение 
A
R
в 
A
I
,  где 
A

произвольное 
индексное 
множество, 
стандартным, 
если 
для 
любого 
B
A

 
выполнены 
следующие 
соотношения: 
(
)
A
B
B
t R
R

 
и 
(
)
A
B
B
t R


,  где  через 
:
A
B
B
t
I
I

 
и 
:
A
B
B
R
R


 

соответствующие проектирования.
 
Теорема 
1

Если 
X
 
есть 
( )
AE o
 
пространство,  то 
X
является  и  пространством 
Дугунджи и пространством Милютина.
  
Доказательство
. 
В дальнейшем предположим, 
что 
A
R
 
стандартно вложено в 
A
I
, где 
(0,1)
R

 
и 
[0,1]
I


Пусть
 
: ( )
( )
u C X
C Y

 
регулярный оператор. В этом случае регулярный 
оператор 
и 
порождает 
отображение 
:
(
)
o
u
Y
P X


 
по 
формуле 
( )( )
( )( )
o
u y
u
y



 
для  каждого 
y Y

 
и 
( )
C X



где 
( ) {
(
) : supp
}
P X
a
P
X
a
X


 


Для 
X
Y

 
пусть 
( )
{
( ) :
/
X
X
C Y
f
C X
f
g



для  некоторого 
( )}
g C Y

.  Говорят,  множество 
X
Y

 
C

вложено 
в 
Y

если 
( )
( )
X
C X
C Y

 
т.е. 
любое 
отображение
 
:
f X
R

 
продолжается  до 
Y

Тихоновское 
пространство 
X
 
назовем 
( )
AE o
-
пространством,  если  для  каждого  нульмерного 
пространства 
Z
 
и его подпространства 
0
Z
Z

каждое 
отображение 
0
:
f Z
X

удовлетворяющее 


0
0
( )
( )
Z
f
C X
C Z

 
имеет непрерывное продолжение на все 
Z
.  
Заметим,  что  для  каждого 
( )
y
f X
Y


 
имеет место 
1
( )
(
( ))
( )
o
u
y
P f
y
P X





, где 
:
f X
Y


Пусть теперь 
(0)
X
AE

. Будем считать, что 
пространство 
X
 
C

вложено  в 
R

(для 
подходящего 

).  В  силу  предложения  3.3.25  [5] 
существует 
функционально 
замкнутое 
совершенное  и 
0

обратимое  отображение 
:
g N
R



 
обладающее 
регулярным 
оператором  усреднения 
: (
)
(
)
u C N
C R




Тогда 
имеется 
такое 
отображение 
:
(
)
o
u
R
P N




, что 
( )
(
)
o
P g
u
R




. В 
силу  нульмерности
 
N

 
и  из  того,  что 
( )
X
AE o

 
существует  такое  отображение 
1
1
[
]
[
]
g
X
g
X
g




. Заметим, что 
[ ]
X
X

так как 
каждое 
( )
AE o
 
пространство 
R

компактно. 
Следовательно, 
X
 
замкнуто  в
   
R


В  этом 
случае имеет место равенство
 
1
1
(
(
))
(
(
))
( )
( )
P
g
X
P
g
X
P
P g








 
и 
( )
o
X
P
u
X




 
Поскольку  носитель 
o
x
u
 
есть 
1
( )
g
x

 
для 
каждого 
x
X

.  Для  совершенной  сюръекции 
N
X



 
сопряженное  отображение  к 
:
(
)
o
x
X
P N




 
будет 
регулярным 
оператором  усреднения  т.е.  Пространство 
X
 
есть 
пространство 
Милютина. 
Если 
мы 
определим 
отображение 
:
( )
R
P X




 
пологая 
( )
o
P
u




,  Тогда 
X
X



.  В 
этом  случае  отображение 
0

 
сопряженное  к 
отображению 

 
будет  регулярным  оператором 
продолжения т.е.
 
: ( )
(
)
o
C X
C R



. Значит, 
X
 
есть  пространство  Дугунджи.  Теорема  1 
доказана.
 
Пусть 
X
R
 
 
компактно  и 
C

вложено  в 
A
R
 
(в  качестве  А  можно  взять  множество 
( )
C X
). 
Рассмотрим 
стандартный 
факторизующий 


спектр 
{
:
,exp
}
B
B
C
S
R
A



,  ассоциированный  со 
степен 
A
R
 
(напомним,  что  через 
exp A

 
обозначены
 


 
полное  множество  всех 
счетных  (ординалов)  подмножеств  А,  а  через 
:
A
B
B
R
R


 
и 
:
B
B
C
R
R



C
B
A
 

обозначены  естественные  проектирования  на 
соответствующие подпроизведения). 
 
Положим 
[
( )] ,
exp
B
B
B
R
X
X
B
A




 
и 
B
B
C
C B
P


 
C
B


exp
C
A


. Тем самым мы 
определим 
спектр 
{
,
,exp
}
B
X
B
C
S
X
P
A



состоящий,  как  легко  видеть  из  польских 
пространств 
B
X

exp
B
A


.  Непрерывность 
10

 
 
 
 
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI 
 
 
 
ANIQ FANLAR         1/2018 (14)
 
 
  
этого спектра очевидна. Поскольку пространство
 
X
R
 
 
компактно  и 
C

вложено  в 
A
R

постольку  оно  в  силу  предложения  3.2.5[5] 
замкнуто в 
A
R
. Из факторизуемости спектра 
S
 
и 
C

вложенности  пространства 
X
 
в 
A
R
 
вытекает 
факторизуемость 
спектра 
X
S

Следовательно, 
предельное 
пространство 
спектра 
X
S
 
совпадает  с 
X
 
т.е. 
lim
X
S
X



Это означает, что 
R
 
компактные пространства, и 
только  они,  могут  быть  представлены  в  виде 
предельных пространств факторизующих строгих 


спектров [5]. 
 
Теорема  2.
 
Если 
X
 
пространство  Дугунджи. 
Тогда 
X
 
есть 
( )
AE o
 
пространство.
 
Доказательство
. 
Через 

 
обозначим 
R
 
вес 
пространства 
X
. Если 
( )
R
X




, тогда
 
X
 
замкнуто  в 
R

.  Следовательно, 
X
 
польское 
пространство.  В  силу  Предложения  1.1.4[5] 
пространство
 
X
 
есть 
( )
AE o
 
пространство.
 
Пусть 
X
R
 
 
компактно  и 
C

вложено  в 
A
R
 
и 
: ( )
(
)
A
u C X
C R

 
регулярный оператор 
продолжения.  В  этом  случае  пространство  Х 
является  обратным  пределом  факторизующего 
строго 

 
спектра
 
{
,
,exp
}
B
X
B
C
S
X
P
A



Через 
( )
A

 
обозначим 
подмножества 
индексного  множества 
A
 
ординал  которого 
 

.  Отображение 
:
P
X
X



 
определим 
пологая 
( )
A
X
t
P



 
и 
:
P
X
X





 
есть 
ограничение отображения 
( )
( )
B
B
C
C
P
P




Пусть  теперь  построены  системы 
( )
A

 
обладающие 
следующими 
условиями 
(свойствами):
 
( )
A o
-
точка

Если 

 
предельный  ординал
 


,  то 
( )
( )
A
A
 





Для  каждого 

 
разность 
(
1) \ ( )
A
A




счетно;
 
Для  каждого 

 
и  для  всех 
(
)
f
C X


 
отображение 
(
)
u f P

 
согласовано 
с 
отображением 
( )
(
)
A
f


 
на  подпространстве 
\ ( )
A A
X
R



 
пространство 
A
R

Для  всех 

 
и  любого 
1
(
)
f
C X



 
ограничение
 
и 
\ ( )
1
(
)
A A
X
R
f
P





 
является 
фактором сквозного отображения 
(
1)
A




Из  условии  iii)  вытекает,  что  отображение 
(соседние  проекции) 
1
P



 
имеет  польское  ядро 
т.е.
 
имеет место следующая диаграмма 
 

  
1
1 \
1
A
A
P
i
X
X
R
X














 
В  силу  условий  (V)  определяем  регулярный 
оператор 
продолжения 
(
1)\ ( )
1
1
: (
)
(
)
A
A
u
C X
C X
R










 
пологая 
1
(
1)
1
( )
(
)
A
u
f
u f
P









где 
1
(
)
f
C X



.  Из  свойства  (IV)  вытекает,  что 
имеет место равенство 
1
1
(
)
u
f
P
f








,  
где 
(
)
f
C X


. Очевидно, что отображение 
(
1)\ ( )
:
A
A
X
R
X










открыто. 
 
*Докажем, 
что 
отображение 
1
1
:
P
X
X







 
тоже открыто. 
 
Доказательство
. 
В  данном  случаем  имеем 
следующую диаграмму
 





  
1
1
1
1 \
1
1
   
4
3
      
1
2
          
   
P
i
A
A
P
X
P
X
X
X
X
R
P
X
























 





 

  
 
1 \
A
A
A





 
где 
( )
1
:
(
)
A
X
R
P X



 



 
непрерывное 
отображение 
порожденное 
регулярным оператором продолжения 
 
( )
1
1
: (
)
(
)
A
u
C X
C X
R









1
( )
1
1
1
(
)
: (
)
(
), (
)
A
i X
i X
X
i X
X
R
















 
Пусть 
1
1
,
o
x
X





 
1
1
(
)
o
o
P
x
x








В силу 
коммутативности  диаграммы  (1)  существует 
точка 
o
x
X

 
такая,  что 
1
(
)
o
o
P
x
x




  ,
 
0
0
(
)
P x
x



 
известно, что для каждого 
A


, пространства 
X

 
есть польское пространство. 
11

 
 
 
 
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI 
 
 
 
ANIQ FANLAR         1/2018 (14)
 
 
  
Рассмотрим последовательность точек 
n
x
X



 
сходящихся к точке 
o
x

 
т.е.
 
lim
( ;
)
0
n
o
n
x x







где 


 
метрика в
 
X

 
Покажем, что существует последовательность 
точек 
1
n
x


 
в  пространстве 
1
X


 
сходящихся  к 
точке 
1
o
x


 
таких, что
 
1
1
(
)
n
n
P
x
x








Положим 
0
0
1
1
1
1
1
(
, )
{
:
( ,
)
}
n
B x
n
x
X
x x
n












 
( )
1
1
(
)
(
)
n
A
x
R
i X
A x









 
1
1
1
1
( (
))
( (
))
(
)
n
n
n
A x
i
A x
C x



 






 
0
1
1
1
(
, )
(
)
(
)
n
n
n
B x
n
C x
D x









Очевидно, что для каждого 
n
N

 
множества 
 
1
n
D x
 
 
непустое.  Теперь  для  каждого 
n
N

 
выберем  по  точки 
1
1
(
)
n
n
x
D x





 
так,  чтобы 
диаграммы (2),(3),(4) были коммутативны.
 
Последовательность 
точек 
1
2
1
1
1
,
,...,
,...
n
x
x
x






 
сходится к точке 
1
o
x


 
и 
1
1
(
)
n
n
P
x
x







.  
Значит,  отображение 
1
1
:
P
X
X








открыто. 
 
Систему  множеств 
( )
A

 
построим  по 
трансфинитной индукции.
 
Пусть 
( )
A o
 
, то 
0
X

есть точка.
 
Семейство 
(
)
f
  

 
в 
( )
C X
 
отделяет точки 
пространства Х от множества.
 
Допустим  множества 
( )
A

 
определены  для 
всех  ординалов 
 

 
и  удовлетворяют 
условиям  (ii),  (iii),  (iv)  и
 
(v).  Пусть 

 
первый 
ординал  для  которого 
f

 
не  является 
факторизацией  сквозного  отображения 
P

.  В 
силу  теоремы  6.27  (  или  следствия  6.28[3])  для 
функции 
f

 
определенный  на 
A
R
 
существует 
счетное подмножество 
C
A

, что 
C
f
g P


 
т.е.
 
f


зависит от счетного числа координат или 
же 
f
 
является фактором сквозного отображения 
C
P

    
В  дальнейшем  рассуждая  так  же  в 
доказательстве 
теоремы 
3[2] 
выбираем 
индексное множество 
B

Теперь  определяем 
(
1)
( )
A
A
B


 


Имеем следующего диаграмму
 
       
 
 
\
A
A A
P
t
X
X
R
X







 
          (2) 
Регулярный 
оператор 
продолжения
  
 
 


\
:
A A
C X
C X
R





 
определяем 
полагая 
   
 
\
|
A A
X
R
f
u f





.  Так  как  при 
 

 
положим 


 
 
,
A
f
P
f
f
C X








Заметим, что
 
а)  для  каждого 

,  пространства 
1
X


.  С
-
вложено  в 
A
X
R


 
и  имеет  регулярный 
оператор 
1
u


 
продолжения  (диаграмма  1). 
Отметим,  что 
1
X


 
польское  пространство. 
Следовательно, 
1
X


 
есть 
пространство 
Дугунджи и 
 
1
0
X
AE




б) 
Спектр 


,
,
X
S
X
P




 
вполне 
упорядочен и 


полно, соседнее проекции 
1
P



 
открыты и имеют польское ядро;
 
в) 
0
X

является 
польским 
 
0
AE
 
пространством;
 
г)  В  силу  открытости  соседних  проекцией 
1
P



 
по следствию 3.3.27 [5] 
1
P



-0-
мягко.
 
д) В силу 
R

компактности пространства 
X
 
по теореме 3.2.17 [5] спектр 
X
S
 
факторизующии 
строгий 


спектр.
 
е) 
lim
X
S

гомеоморфен пространству 
X

Теперь  в  силу  предложения  3.5.4.  [5] 
пространство 
X
 
является 
 
0
AE
 
пространством. Теорема 2 доказана.
 
В силу теоремы 1
-
2 имеем 
 
Теорема  3.
 
Класс 
 
0
AE
 
пространств 
совпадает классом пространств Дугунджи.
 
Следствие  1.  Каждое  польское  пространство 
есть пространство Дугунджи.
 
Из 
С
-
вложенности 
и 
R

компактности 
пространств  Дугунджи,  пространства  Дугунджи 
замкнуты в 
R


Легко доказывается следующее
 


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling