Toshkent xalqaro moliya boshqaruv va tenologiyalar universiteti

Oliy matematika fanidan natural sonlar sistemasi
Qadim ota-bobolarimiz dastlab bor narsalarni taqsimlash (masalan meros boʻlish) jarayonida, har bir shaxs yoki toʻdaning haqini ajratib berish hisobini olib borishgan. Turmush va hayotiy sharoitlar bunday hisoblar soni, sifatini oshirib borgan. Matematika fan sifatida eramizdan oldingi III asrda grek olimi Evklid yozgan (toʻplagan) 5 tomdan iborat va «Nachalo» (Boshlangʻich) deb atalgan kitoblardan boshlanadi. To eramizning XVI asrigacha bu matematika tarraqqiyoti yoʻlida bizning bobolarimiz ham sezilarli hissa qoʻshishgan. Al-Xorazmiy (787-850) Abdullo Muhammad ibn Muso al Majusiy «Hind hisobi» kitobini yozib arifmetika fanining asoschisi boʻlgan. Unda hozirda siz-u biz ya`ni butun dunyo foydalanadigan OʻNLIK sanoq sistemasi taklif qilingan. Algebra atamasi Xorazmiyning «Al-kitob al muxtasar fi hisob Al-jabr val-muqobala» (Al-jabr va-l-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob) nomli risolasidagi «Al-jabr» soʻzining lotincha yozilishidan olingan. Bizgacha yetib kelgan nusxasi 1342-yili koʻchirilgan arabcha nusxasidir. 1145-yili Robert Gester ingliz tiliga, 1160-yili italiyalik Gerardo lotinchaga tarjima qilgan, 1486-yilda Iogan Vidman Leypsig universitetida qilgan dokladida Xorazmiy kitobidan olinganligini keltirgan. 7 «Men arifmetikaning sodda va murakkab masalalarni oʻz ichiga oluvchi al-jabr va-l-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob yozdim, chunki u odamlarga meros taqsimlashda, vasiyatnoma yozishda, boylik boʻlish va adliya ishlarida, savdo-sotiqda, turli xil munosabatlarda, kanal qazishda va geometrik hisoblashlarda juda ham zarur», (deb yozadi kitob muqaddimasida Al-Xorazmiy). «Hind hisobi» kitobi undan keyingi arifmetikadan asar yozuvchi barcha olimlarga qolip boʻlib xizmat qilgan boʻlsa, «Aljabr va-l-muqobala kitob» asari algebraga asos soldi. Undan oldin hech kim algebra boʻyicha bunday kitob yozmagan. Abu Rayhon (Beruniy) Muhammad Ibn Ahmad (973-1048) Evklidning “Nachalo‘ sini, Ptolomeyning «Al’magest» asarlarini sanskritdan hozirgi zamon tiliga aylantirgan «Astrolyabiya traktati», «Hindiston» asarlari bilan dunyoga mashhur geometr, faylasuf sifatida tanilgan.
Son tushunchasi matematikaning muhim tushunchalaridan biri. Ular 1) natural sonlar (1,2,3,...), 2) butun sonlar (..., -2, -1, 0, 1, 2,...), 3) kasr sonlar (oddiy va oʻnli kasrlar), 4) haqiqiy sonlar,boʻlishi mumkin. Bunday sonlar, ular ustida bajariladigan amallar, amallarning bajarilish qoidalari oʻquvchiga maktab, kollej va litseylarda oʻqitiladigan matematika fanidan ma’lum. Oliy matematika kursi davomida koʻp hollarda haqiqiy sonlarga duch kelamiz. Shuning uchun haqiqiy sonlar haqidagi asosiy ma’lumotlarni qisqacha bayon etamiz. Ma’lumki, p q koʻrinishida ifodalaniladigan son ratsional son deyiladi, bunda p - butun son, q-esa natural son boʻlib, ular oʻzaro tub. Ravshanki, oddiy kasrlar ratsional son boʻladi. Agar p q kasrning maxraji 10, 100, umuman 10 ning natural darajalari (10n ) boʻlsa, bunday oddiy kasr oʻnli kasr deyiladi. Masalan, 3 2 , 1 17 , 23 11 , 8 9  - oddiy kasrlar, 7 0,7 10  , 112 11, 2 10  , 23 0, 23 100  - oʻnli kasrlar boʻladi. 13 p q ratsional son – oddiy kasr berilgan boʻlsin. Boʻlish qoidasidan foydalanib p butun sonni q natural songa boʻlamiz. Agar boʻlish jarayonida biror qadamdan keyin qoldiq nolga teng boʻlsa, u holda boʻlish jarayoni toʻxtab, p q kasr oʻnli kasrga aylanadi. Odatda, bunday oʻnli kasr chekli oʻnli kasr deyiladi. p ni q ga boʻlish jarayoni cheksiz davom etib, ma’lum qadamdan keyin yuqorida aytilgan qoldiqlardan biri yana bir marta uchrashi, soʻng undan oldingi raqamlar mos ravishda takrorlanishi mumkin. Odatda, bunday oʻnli kasr cheksiz davriy oʻnli kasr deyiladi. Takrorlanadigan raqamlar (raqamlar birlashmasi) oʻnli kasrning davri deyiladi. Masalan, 53 36 ratsional son 1,4722... 1,47 2    oʻnli kasrga keladi. Bu cheksiz davriy oʻnli kasr boʻlib, uning davri 2 ga teng: 53 1, 47(2) 36  . Demak, har qanday p q ratsional son chekli oʻnli kasr yoki cheksiz davriy oʻnli kasr orqali ifodalanadi.