Toshkent xalqaro moliya boshqaruv va tenologiyalar universiteti

Matematik insduksiya prinsipi
Agar berilgan natural n ga soniga bog`liq bo`lgan А(n) tasdiq, n=1da o`rinli va n=k ( k- ixtiyoriy natural son) o`rinli ekanligidan , keyingi qadam n=k+1 uchun o`rinli bo`lishi isbotlansa , u holda А(n) tasdiq ixtyoriy natural n uchun o`rinli deb qaraladi.

Ba`zi hollarda p- fiksirlangan natural son o`rinli bo`lgan tasdiqni n>p hollarda isbotlash talab etiladi . Bunday hollarda matematik induksiya quyidagicha ta`kidlash mumkin
Agar A(n) tasdiq n=p uchun o`rinli bo`lib , agar ixtiyoriy k>p uchun А(k)А(k+1) bajarilsa , u holda А(n) tasdiq ixtiyoriy natural n>p uchun o`rinli bo`ladi.


Matematik induksiya usulidan foydalainib isbotlash quyidagicha bo`ladi:

1. 
   n=1 hol uchun A(1) tasdiqning to`g`riligi tekshirib ko`riladi. Bu matematik iduksiyaning bazasi deyiladi .
   
2. 
   n=k da o`rinli deb qarab , n=k+1da o`rinli bo`lishi isbotlanadi, yani А(k)A(k+1) bo`lishi isbotlanadi . Bu induksion qadam deyiladi.
   

1– misol
Ixtiyoriy natural n uchun isbotlang 1+3+5+…+(2n-1)=n². 
Yechish : 1) Formula n=1 da o`rinli bo`lishini tekshiramiz
n=1=1² . A(1) =1² o`rinli ekan
2) А(k)A(k+1) kelib chiqishini isbotlaymiz.
Qandaydir n=k da ( k –ixtiyoriy natural son) formula o`rinli bo`lsin.
1+3+5+…+(2k-1)=k<sup>2</sup>.
n=k+1 keyingi natural k+1 sonda ham 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)<sup>2</sup> o`rinli bo`lishini isbotlaymiz
Haqiqatan
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= [ 1+3+5+…+(2k-1)] +2k+1= k<sup>2</sup>+2k+1=(k+1)<sup>2</sup>
Demak, А(k)А(k+1) isbotlandi. Matematik induksiyaga asosan , 1+3+5+…+(2n-1)=n<sup>2</sup> formula ixtiyoriy n natural son uchun o`rinli

2 – Misol

Quyidagi tenglikni isbotlang :

, bu yerda
Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz

2) Qaysidir natural k –uchun n=k da tenglik o`rinli deb , n=k+1 uchun
bo`lishini isbotlaymiz
Haqiqatan
Demak, А(k)A(k+1) o`rinli. Matematik induksiya prinsipiga

asosan , bu yerda ixtiyoriy n da o`rinli

3- Misol

Qavariq n- burchakning diagonallari soni d_n=n(n-3)/2 ga teng bo`lishini isbotlang

Yechish : 1) n=3 da formula o`rinli ekanligini tekshiramiz
d<sub>3</sub>=0(3-3)/2=0 , haqiqatan uchburchakda diagonallar
yo`q soni nolga teng
2) Aytaylik , qandaydir qavariq k- burchak uchun
d_k =k(k-3)/2 diagonali bo`lsin
qavariq (k+1) burchak uchun diagonallar soni
d<sub>k+1</sub>=(k+1)(k-2)/2 ga teng bo`lishini isbotlaymiz.

A₁A₂A₃…A_kA_k+1 qavariq (k+1) burchak bo`lsin. Unda
A<sub>1</sub>A<sub>k</sub> diagonalni o`tkazamiz. (k+1) burchakdagi diagonallar sonini sanash uchun k burchakdagi diagonallar soniga k-2 ta A_k+1 uchdan chiquvchi diagonallar sonini va 1 ta A₁A_k diagonalni qo`shish yetarli . Demak
d_k+1=d_k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.