Tosinarli hádiyseler hám olardıń itimalliqlari

5 Itimallıqtıń statistikalıq tariypi
hádiyse n ta baylanıslısız tájiriybelerde nA ret júz bersin. nA san hádiysediń chastotası, munasábet bolsa hádiysediń salıstırmalı chastotası dep ataladı.
Salıstırmalı chastotanıń statistikalıq turaqlılıq ózgesheligi dep atalıwshı ózgesheligi ámeldegi, yaǵnıy tájiriybeler sanı asıwı menen salıstırmalı chastotası málim nizamlıqǵa iye boladı hám qandayda bir san átirapında tebranib turadı.
Mısal retinde teńge taslaw tájiriybesin alaylıq. Teńge A={Gerb} tárepi menen túsiwi hádiysesin qaraylıq. Byuffon hám K. Pirsonlar tárepinen ótkerilgen tájiriybeler nátiyjesi tómendegi kestede keltirilgen:

Tájiriybe ótkeruvchi Tájiriybeler sanı, n Túsken gerblar sanı, nA Salıstırmalı chastota,

nA/n
Byuffon 4040 2048 0. 5080
K. Pirson 12000 6019 0. 5016
K. Pirson 24000 12012 0. 5005

Kesteden usıdan ayqın boladı, n artqanı tárepke nA/n salıstırmalı chastota 0. 5 ke jaqınlashar eken.

 Eger tájiriybeler sanı etarlicha kóp bolsa hám sol tájiriybelerde qandayda bir hádiysediń salıstırmalı chastotası qandayda bir ózgermeytuǵın san átirapında tebransa, bul sanǵa hádiysediń statistikalıq itimallıǵı dep ataladı.
hádiysediń itimallıǵı simvol menen belgilenedi. Sonday eken,
yamasa jetkiliklishe úlken n lar ushın.
Statistikalıq itimallıqtıń kemshiligi sonnan ibarat, bul jerde statistikalıq itimallıq birden-bir emes. Mısalı, teńge taslaw tájiriybesinde itimallıq retinde tekǵana 0. 5, bálki 0. 49 yamasa 0. 51 ni da alıwımız múmkin. Itimallıqtı anıq esaplaw ushın úlken sandaǵı tájiriybeler ótkeriwdi talap etedi, bul bolsa ámeliyatda kóp waqıt hám ǵárejetlerdi talap etedi.
Statistikalıq itimallıq tómendegi ózgesheliklerge iye:
1.;
2.;
3.;
4. bolsa, ol halda ;
Tastıyıqı. 1) Ihtiyoriy hádiysediń chastotası ushın. Etarlicha úlken n lar ushın bolǵanı ushın boladı.
2) Múmkin bolmaǵan hádiyse ushın nA=0.
3) Anıq hádiysediń chastotası nA=n.
4) Eger bolsa, ol halda hám. ■
Itimallıqtıń klassik tariypi
chekli n ta teń múmkinshilikli elementar hádiyselerden shólkemlesken bolsın.
 hádiysediń itimallıǵı dep, hádiysege qolaylıq jaratıwshı elementar hádiyseler sanı k dıń tájiriybe degi barlıq elementar hádiyseler sanı n ga qatnasına aytıladı.
(1. 6. 1)

Klassik tariypdan paydalanıp, itimallıq esaplawda kombinatorika elementlerinen paydalanıladı. Sol sebepli kombinatorikaning birpara elementleri keltiremiz. Kombinatirikada qosıw hám kóbeytiw qaǵıydası dep atalıwshı eki zárúrli qaǵıyda bar.

hám chekli jıynaqlar berilgen bolsın.
 Qosıw qaǵıydası : eger jıynaq elementleri sanı n hám jıynaq elementleri sanı m bolıp, ( hám jıynaqlar kesilispeytuǵın ) bolsa, ol halda jıynaq elementleri sanı n+m boladı.
 Kóbeytiw qaǵıydası : hám jıynaqlardan dúzilgen barlıq juplıqlar kompleksi dıń elementleri sanı nm boladı.
n ta elementten m () den tańlawda eki sxema ámeldegi: qaytalanbaytuǵın hám qaytarılatuǵın tańlawlar. Birinshi sxemada alınǵan elementler qayta alınbaydı (keyin basıp qaytarılmaydı ), ekinshi sxemada bolsa hár bir alınǵan element hár qádemde ornına qaytarıladı.

Qaytalanbaytuǵın tańlawlar sxeması

 Gruppalashlar sanı : n ta elementten m () den gruppalashlar sanı tómendegi formula arqalı esaplanadı :

(1. 6. 2)

sanlar Nyuton bınama formulasınıń koeffisientlari bolıp tabıladı:.  Orınlashtirishlar sanı : n ta elementten m () den orınlashtirishlar sanı tómendegi formula arqalı esaplanadı :. (1. 6. 3)

 Orın almastırıwlar sanı : n ta elementten n den orınlastırıw orın almastırıw dep ataladı hám ol tómendegishe esaplanadı :. (1. 6. 4)

Orın almastırıw orınlashtirishning menshikli holi bolıp tabıladı, sebebi eger (1. 6. 3.) de n=m bolsa boladı.

Qaytarılatuǵın tańlawlar sxeması

 Qaytarılatuǵın gruppalashlar sanı : n ta elementten m () den qaytarılatuǵın gruppalashlar sanı tómendegi formula arqalı esaplanadı :

(1. 6. 5)

 Qaytarılatuǵın orınlashtirishlar sanı : n ta elementten m () den qaytarılatuǵın orınlashtirishlari sanı tómendegi formula arqalı esaplanadı :. (1. 6. 6 )

 Qaytarılatuǵın orın almastırıwlar sanı : k hil n ta elementten ibarat jıynaqta 1-element n1 ret, 2-element n2 ret, …, k- element nk ret qaytarılsin hám bolsın, ol halda n ta elementten ibarat orın almastırıw arqalı belgilenedi hám ol tómendegishe esaplanadı :. (1. 6. 4)

Endi itimallıq esaplawǵa tiyisli mısallar keltiremiz.

1. 5-mısal. Telefon nomerin terayotganda abonent aqırǵı eki nomerdi eslay almadı. Ol bul nomerler hár túrlı ekenligin eslab, olardı táwekeline terdi. Telefon nomeri tuwrı terilgenligi itimallıǵın tabıń.
Aqırǵı eki nomerdi usıl menen teriw múmkin. A={telefon nomeri tuwrı terilgen} hádiysesin kiritemiz. A hádiyse tek bir elementten ibarat boladı (sebebi kerekli telefon nomeri bir boladı ). Sol sebepli klassik tariypga kóre.
1. 6 -mısal. 100 dane lotoreya biletlarlaridan birewi utıslı bolsın. Táwekeline alınǵan 10 lotoreya biletlari ishinde utıslısı bolıwı itimallıǵın tabıń.
100 dane lotoreya biletlaridan 10 tasini usıl menen tańlaw múmkin. ={10 lotoreya biletlari ishinde utıslısı bolıwı } hádiysesi bolsa, hám.
1. 7-mısal. Pochta bóliminde 6 xildagi otkritka bar. Sotilgan 4 otkritkadan: a) 4 tasi birdeyde; b) 4 tasi hár qıylında bolıwı itimallıqların tabıń.
6 qıylı otkritkadan 4 tasini usıl menen tańlaw múmkin. a) A={4 birdey degi otkritka sotilgan} hádiysesi bolsın. A hádiysediń elementar hádiyseleri sanı otkritkalar xillari sanına teń, yaǵnıy N (A) =6. Klassik tariypga kóre boladı. b) B={4 hár túrlı otkritka sotilgan} hádiysesi bolsın, ol halda ga teń hám
Klassik itimallıq tómendegi ózgesheliklerge iye:
1.;
2.;
3.;
4. Eger bolsa, ol halda ;
5. ushın
Tastıyıqı. 1) bolǵanı ushın klassik tariypga kóre.
2) Klassik tariypga kóre.
3) Ihtiyoriy hádiyse ushın ekenliginen boladı.
4) Eger bolsa, ol halda hám.
5) hám hádiyselerdi birgelikte bolmaǵan eki hádiyseler yig'ndisi formasında jazıp alamız :, ol halda 4-qasiyetke kóre hám. Bul eki teńlikten kelip shıǵadı. ■
Itimallıqtıń geometriyalıq tariypi
Itimaldıń klassik tariypiga kóre - elementar hádiyseler keńisligi chekli bolǵandaǵana esaplawımız múmkin. Eger sheksiz teń múmkinshilikli elementar hádiyselerden shólkemlesken bolsa, geometriyalıq itimallıqtan paydalanamız.
Ólshewli qandayda bir tarawdıń berilgen bolıp, ol D tarawdı óz ishine alsın. tarawǵa táwekeline taslanǵan X noqattı D tarawǵa túsiwi itimallıǵın esaplaw máselesin kóremiz. Bul jerde X noqattıń tarawǵa túsiwi anıq hám D tarawǵa túsiwi tosınarlı hádiyse
túsiwi hádiysesi bolsın.
 hádiysediń geometriyalıq itimallıǵı dep, D tarawdıń ólshewin tarawdıń ólshewine qatnasına aytıladı, yaǵnıy, bul jerde mes arqalı uzınlıq, maydan, kólem belgilengen.
1. 8-mısal. l uzınlıqtaǵı sterjen táwekeline saylanǵan eki noqatda bóleklerge bolındı. Payda bolǵan bóleklerden úshmúyeshlik soǵıw múmkin bolıwı itimallıǵın tabıń.
Birinshi bólek uzınlıǵın x, ekinshi bólek uzınlıǵın y menen belgilesak, úshinshi bólek uzınlıǵı l-x-y boladı. Bul jerde, yaǵnıy sterjendiń bólekleri uzınlıqlarınıń barlıq bolıwı múmkin bolǵan kombinatsiyası bolıp tabıladı. Bul bóleklerden úshmúyeshlik soǵıw múmkin bolıwı ushın tómendegi shártler orınlanıwı kerek:.
Bul teńsizlikler 7-suwretdegi boyalǵan tarawdı ańlatadı. Itimallıqtıń geometriyalıq tariypiga kóre:. 1. 9 -mısal. (Ushırasıw haqqında )
Eki dos saat 9 menen 10 arasında ushırasıwǵa kelisiwdi. Birinshi kelgen kisi dosın 15 minuta dawamında kútiwin, eger sol waqıt dawamında dosı kelmese ol ketiwi múmkinligin shártlashib aldılar. Eger olar saat 9 menen 10 arasında qálegen momentte keliwleri múmkin bolsa, bul eki dostıń gezlesiwi múmkinshiligın tabıń.
Birinshi kisi kelgen momentti x, ekinshisinikini y bolsın :, Ol halda olardıń ushırasıwları ushın teńsizlik orınlanıwı kerek.
Sonday eken,,. x hám y larni Dekart koordinatalar tegisliginde suwretleymiz (8-súwret).
Itimallıqtıń hákisiomatik tariypi

Itimallar teoriyasın hákisiomatik qurıwda A. N. Kolmogorov tárepinen 30 -jıllardıń baslarında tiykar salınǵan.

- qandayda bir tájiriybediń barlıq elementar hádiyseler kompleksi, S-hádiyseler algebrasi bolsın.
 S hádiyseler algebrasida anıqlanǵan, haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi fuksiya itimallıq dep ataladı, eger ol ushın tómendegi hákisiomalar orınlı bolsa :
A1: ihtiyoriy hádiysediń itimallıǵı teris emes (nomanfiylik hákisiomasi);
A2: anıq hádiysediń itimallıǵı birge teń (normallastırıw hákisiomasi);
A3: jup-jupimenen birgelikte bolmaǵan hádiyseler jıyındısınıń itimallıǵı sol hádiyseler itimalları jıyındısına teń, yaǵnıy eger bolsa, ol halda
(additivlik hákisiomasi);
úshlıq itimallıq keńisligi dep ataladı, bul jerde -elementar hádiyseler keńisligi, S-hádiyseler algebrasi, P- A1-A3 hákisiomalarni qánaatlantıratuǵın sanaqlı funksiya.

Itimallıqtıń ózgeshelikleri

Kolmogorov hákisiomalarining qollanıwı retinde tómendegi ózgesheliklerdi keltiremiz:

1. Múmkin bolmaǵan hádiysediń múmkinshiligı nolge teń. 2. Keri hádiyselerdiń itimallıqları jıyındısı birge teń. 3. Qálegen hádiysediń itimallıǵı ushın tómendegi munasábet orınlı :

4. Eger bolsa, ol halda.
5. Eger birgelikte bolmaǵan hádiyseler tolıq gruppanı tashkil etse, yaǵnıy hám bolsa ol halda. Tastıyıqı :
1. teńliklerden A3 hákisiomaga kóre
2. teńliklerden hám de A2 hám A3 hákisiomalardan bolsa teńlik kelip shıǵadı.
3. 2-qasiyetke kóre hám A1 hákisiomaga tiykarlanıp.
4. ekenliginen hám. A3 hákisiomaga kóre, biraq bolǵanı ushın.
5. teńlik, A2 hám A3 hákisiomalarga kóre. ■

Itimallıqlar keńisligi

Elementar hádiyseler keńisligi sheksiz bolsın :. S bolsa dıń barlıq bólim jıynaqlarınan shólkemlesken hádiyseler algebrasi bolsın. Hár bir elementar hádiysege sannı uyqas qóyamız.-elementar hádiysediń múmkinshiligı dep ataladı. Sonday eken, de tómendegi shártlerdi qánaatlantıratuǵın sanlı funksiya kiritemiz:

1.;
2..
Ol halda hádiysediń itimallıǵı jıyındı formasında ańlatıladı :

(1. 10. 1)

Itimallıqtı bunday anıqlaw Kolmogorov hákisiomalarini qánaatlantıradı :

1., sebebi hár bir ;

2.;
3. Eger bolsa, ol halda. Bunday anıqlanǵan úshlıq itimallıqlar keńisligi (yamasa diskret itimallıqlar keńisligi) dep ataladı.
Eger - chekli keńislik hám tájiriybe degi barlıq elementar hádiyseler teń múmkinshilikli bolsa, yaǵnıy, (1. 10. 2)

ol halda (1. 10. 1) formula tómendegi kóriniske iye boladı :. (1. 10. 3)

Bul jerde m hádiysege tiyisli elementar hádiyseler sanı. Bul bolsa itimallıqtı klassik tariypga kóre esaplaw bolıp tabıladı. Sonday eken, klassik itimal (1. 10. 1) formula arqalı anıqlanǵan itimallıqtıń menshikli holi eken.

Shártli itimallıq

hám hádiyseler qandayda bir tájiriybe degi hádiyseler bolsın.

 hádiysediń hádiyse júz bergen degi shártli itimallıǵı dep,

(1. 11. 1)

koefficientke aytıladı. Bul itimallıqtı arqalı belgileymiz.

Shártli itimallıq da Kolmogorov hákisiomalarini qánaatlantıradı :
1.;
2.;
3. Eger bolsa, ol halda
sebebi ekenliginen,
1. 10 -mısal. Ídısda 3 aq hám 7 qara shar bar. Táwekeline izbe-iz birden 2 shar alınadı. Birinshi shar aq reńde bolsa ekinshi sharning qara reńde bolıwı itimallıǵın tabıń.
Bul mısaldı eki usıl menen sheshiw múmkin:
1) A={birinshi shar aq reńde}, ={yekinshi shar qara reńde}. A hádiyse júz bergeninen keyin ıdısda 2 aq hám 7 qara shar qaladı. Sol sebepli.
2) (1. 11. 1) formuladan paydalanıp, esaplaymiz:,
Shártli itimallıq formulasına kóre:.

Shártli itimallıq formulasınan hádiyseler kóbeymesi itimallıǵı ushın bul formula kelip shıǵadı :

(1. 11. 2)

(1. 11. 2) teńlik kóbeytiw qaǵıydası (teoremasi) dep ataladı. Bul qaǵıydanı n ta hádiyse ushın ulıwmalastıramız :. (1. 11. 3)

 Eger teńlik orınlı bolsa, ol halda hádiyse hádiysege baylanıslı emes dep ataladı hám arqalı belgilenedi.

Eger bolsa, ol halda (1. 11. 2) formulanı tómendegishe jazıw múmkin:.  hám hádiyseler óz-ara baylanıslı emes dep ataladı, eger

munasábet orınlı bolsa.

Lemma. Eger bolsa, ol halda, hám boladı.

Tastıyıqı : bolsın. Ol halda munasábet orınlı boladı. teńlikten paydalanıp, tómendegine iye bolamız :
Sonday eken,. Qalǵanları da tap sonday tastıyıqlanadı. ■

Tolıq itimallıq hám Bayes formulaları

jup-jupimenen birgelikte bolmaǵan hádiyseler tolıq gruppanı tashkil etsin, yaǵnıy hám. Ol halda ekenligin esapqa alıp, ni kóriniste jazamız. ekenliginen ekeni kelip shıǵadı. hádiysediń itimallıǵın esaplaymiz:. (1. 12. 1)

Kóbeytiw qaǵıydasına kóre boladı. Bul teńlikti (1. 12. 1) ga qollasak,.  Eger bolsa, ol halda

(1. 12. 2)

teńlik orınlı boladı. Bul teńlik tolıq itimallıq formulası dep ataladı.

1. 11-másele. Detallar partiyası úsh jumısshı tárepinen tayarlanadı. Birinshi jumısshı barlıq detallarning 25% ini, ekinshi jumısshı 35% ini, uchinchsi bolsa 40% ini tayarlaydı. Bul uchchala jumısshınıń tayarlaǵan detallarining sapasız bolıw itimallıqları uyqas túrde 0. 05, 0. 04 hám 0. 02 ge teń bolsa, tekseriw ushın partiyadan alınǵan detalning sapasız bolıw itimallıǵın tabıń.

Ai={detal i-jumısshı tárepinen tayarlanǵan}, B={tekshirish ushın alınǵan detal sapasız} hádiyselerdi kiritemiz hám tómendegi itimallıqlardı esaplaymiz:, . Tolıq itimallıq formulasına tiykarlanıp.

hám hádiyseler kóbeymesi ushın

(1. 12. 3)

(1. 12. 4)

teńlikler orınlı. (1. 12. 3) hám (1. 12. 4) teńliklerden tómendegilerdi payda etemiz:, . (1. 12. 5)

Bul jerde. (1. 12. 5) teńlik Bayes formulası dep ataladı. Bayes formulası taǵı gipotezalar teoremasi dep da ataladı. Eger hádiyselerdi gipotezalar dep alsaq, ol halda itimallıq gipotezaning aprior (“a priori” latınsha tájiriybege shekem), shártli itimallıq bolsa aposterior (“a posteriori” tájiriybeden keyingi) itimallıǵı dep ataladı.
1. 12-másele. 1. 11-mısalda sapasız detal ekinshi jumısshı tárepinen tayarlanǵan bolıwı itimallıǵın tabıń. Bayes formulasına kóre:. Baylanıslısız tájiriybeler izbe-izligi. Bernulli formulası

Eger bir neshe tájiriybeler ótkerilayotganida, hár bir tájiriybede qandayda bir A hádiysediń júz beriw itimallıǵı basqa tájiriybe nátiyjelerine baylanıslı bolmasa, bunday tájiriybeler baylanıslısız tájiriybeler dep ataladı.

n ta baylanıslısız tagribalar ótkerilip atırǵan bolsın. Hár bir tájiriybede A hádiysediń júz beriw itimallıǵı hám júz bermasligi itimallıǵı bolsın.
Mısalı, 1) nıshanǵa qarata kósher úziw tájiriybesin kóreylik. Bul jerde A={o'q nıshanǵa tegdi}-muvaffaqqiyat hám ={o'q nıshanǵa tegmadi}-muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta ónimdi sapasızlikka tekserilayotganda A={mahsulot sapalı}-muvaffaqqiyat hám ={mahsulot sapasız}-muvaffaqqiyatsizlik boladı.
Bul sıyaqlı tájiriybelerde elementar hádiyseler keńisligi tek eki elementten ibarat boladı :, bul erda -A hádiyse júz bermasligini,-A hádiyse júz beriwin ańlatadı. Bul hádiyselerdiń itimallıqları uyqas túrde p hám q (p+q=1) lar arqalı belgilenedi.
Eger n ta tájiriybe ótkerilip atırǵan bolsa, ol halda elementar hádiyseler keńisliksiniń elementar hádiyseleri sanı 2 n ga teń boladı. Mısalı, n=3 te, yaǵnıy jıynaq 23=8 elementar hádiyseden ibarat. Hár bir hádiysediń itimallıǵın kóbeytiw teoremasiga kóre esaplaw múmkin:
n ta baylanıslısız tájiriybede A hádiyse m ret júz beriw itimallıǵın esaplaylik:
Hár bir qosılıwshı kóbeytiw teoremasiga kóre ga teń. Sonday eken,.  Eger n ta bo'g'liqsiz tájiriybediń hár birinde A hádiysediń júz beriw itimallıǵı p ga, júz bermasligi q ga teń bolsa, ol halda A hádiysediń m ret júz beriw itimallıǵı tómendegi ańlatpaǵa teń boladı :. (1. 13. 1)

(1. 13. 1) formula Bernulli formulası dep ataladı. itimallıqlar ushın teńlik orınlı bolıp tabıladı. Haqıyqattan da,

Nyuton bınama formulasında dep alsaq,, yaǵnıy

boladı.
(1. 13. 1) itimallıqlar ózgeshelikleri:
1..
2. Eger bolsa,.
3. n ta baylanıslısız tájiriybede A hádiysediń keminde 1 ret júz beriwi itimallıǵı boladı.
Sebebi,.
4. Eger itimallıqtıń eń úlken ma`nisi bolsa, ol halda tómendegishe anıqlanadı :,-eń itimallı san dep ataladı hám
a) eger np-q bólshek san bolsa, ol halda birden-bir bolıp tabıladı;
b) eger np-q pútkil san bolsa, ol halda eki boladı.
1. 13-mısal. Eki teń kúshli shaxmatchi shaxmat oynap atır. Qaysı hádiysediń itimallıǵı úlken: 4 partiyadan 2 tasida jutıwma yamasa 6 partiyadan 3 tasida jutıw. Birinshi halda : n=4, m=2, p=, Bernulli formulasına kóre.
Ekinshi halda n=6, m=3, p= hám Bernulli formulasına kóre.. Sonday eken, 4 partiyadan 2 tasida jutıw itimallıǵı úlken eken.

Limit teoremalar

Eger n hám m lar úlken sanlar bolsa, ol halda Bernulli formulasınan paydalanıp, itimallıqtı esaplaw qıyınshılıq tuwdıradı. Tap sonday, p (q) itimallıq júdá kishi bahalar qabıl qilsa da qıyınshılıqlarǵa dus kelamiz. Usınıń sebepinen, de ushın asimptotik (ámeliy) formulalar tabıw mashqalasın tuwdıradı.

Puasson formulası

 Eger de A hádiysediń júz beriw itimallıǵı p hár bir tájiriybede sheksiz kamaysa (yaǵnıy ), ol halda, m=0, 1, 2, …. (1. 14. 1)

(1. 14. 1) formula Puassonning asimptotik formulası dep ataladı.

belgilew kiritip, Bernulli formulasınan

ekenligin itibarǵa alıp, (1. 14. 2) teńlikten limitga ótemiz:. Sonday eken, jetkiliklishe úlken n larda (kishi p de)

(1. 14. 3)

(1. 14. 3) formula Puasson formulası dep ataladı. Ádetde Puasson formulasınan bolǵan jaǵdaylarda paydalanıladı.

1. 14-mısal. Telefon stansiyası 2000 abonentke xızmet kórsetedi. Eger hár bir abonent ushın unig bir saattıń ishinde qońıraw etiwi itimallıǵı 0. 003 bolsa, bir saattıń ishinde 5 abonent qo'ngiroq etiwi itimallıǵın tabıń.

n=2000, p=0. 003, m=5, a=np=20000. 003=6<10. Sonday eken, Puasson formulasına kóre.

Muavr-Laplasning lokal teoremasi

Eger p () itimallıq nol átirapındaǵı san bolmasa hám n etarlicha úlken bolsa, ol halda itimallıqtı esaplaw ushın Muavr-Laplas teoremasidan paydalanıw múmkin.

Teorema (Muavr-Laplas) Eger n ta baylanıslısız tájiriybede A hádiysediń júz beriw itimallıǵı bolsa, ol halda jetkiliklishe úlken n larda, (1. 14. 4)
-ámeliy formula orınlı. Bul jerde funksiya Gauss funksiyası dep ataladı (9 -súwret).
funksiya ushın x argument bahalarına uyqas bahaları kestesi dúzilgen (1-qosımsha ). Kesteden paydalanayotganda tómendegilerdi itibarǵa alıw kerek:
1) funksiya jup funksiya, yaǵnıy.
2) eger bolsa, dep alıw múmkin.

1. 15-mısal. Bir kósher otilganda o'qning nıshanǵa tiyiw itimallıǵı 0. 7 ge teń. 200 dane kósher otilganda nıshanǵa 160 ta kósher tiyiwi itimallıǵın tabıń.

Bul jerde n=200, p=0. 7, q=1-p=0. 3, m=160. (1. 14. 4) ga kóre,. Eger ekenligin esapqa alsaq, ol halda.

Muavr-Laplasning integral teoremasi

Eger n jetkiliklishe úlken hám A hádiyse n ta tájiriybede keminde m1 hám kópi menen m2 ret júz beriw itimallıǵı ni tabıw talap etilse, ol halda Muavr-Laplasning integral teoremasidan paydalanıw múmkin.

Teorema (Muavr-Laplas) Eger A hádiysediń júz beriw itimallıǵı () ózgermeytuǵın bolsa, ol halda, (1. 14. 5)

ámeliy formula orınlı, bul jerde.

(1. 14. 5) formuladan paydalanilganda esaplawlardı ápiwayılastırıw ushın arnawlı funksiya kiritiledi:. (1. 14. 6 )

(1. 14. 6 )-Laplas funksiyası dep ataladı.

funksiya toq funksiya :.
Eger bolsa, ol halda dep esaplaw múmkin; funksiya grafigi 10 -suwretde keltirilgen.
(1. 14. 5) dagi teńliktiń oń bólegin funksiya arqalı ańlatpalaymız:

-Laplasning funksiyası menen bir qatarda Gauss funksiyası dep atalıwshi funksidan da paydalanıladı :. (1. 14. 8)

Bul funksiya ushın teńlik orınlı hám ol funksiya menen

(1. 14. 9 )
formula arqalı baylanısqan.
1. 16 -mısal. Sex islep shıǵarǵan óniminiń ortasha 96% i sapalı. Bazada ónimdi qabıl etip alıwshı sexning 200 dane ónimin táwekeline tekseredi. Eger tekserilgen ónimlerden sapasızlari sanı 10 nan kóp bolsa pútkil ónimler partiyası sapasız dep, sexga qaytarıladı. Ónimler partiyasınıń qabıl etiliwi itimallıǵın tabıń.
Bul jerde n=200, p=0. 04 (ónimdiń sapasız bolıw itimallıǵı ), q=0. 96, m1=0, m2=10 hám ónimler partiyasınıń qabıl etiliwi itimallıǵı ni (1. 14. 7) formula arqalı esaplaymiz:, .
Eger funksiyadan paydalansak,. Laplas funksiyası járdeminde n ta baylanıslısız tájiriybede salıstırmalı chastotanıń itimallıqtan shetlesiwi itimallıǵın esaplaw múmkin.
 Qandayda bir san ushın
(1. 14. 10 )

teńlik orınlı.

Haqıyqattan da, bunı tastıyıqlaw ushın teńsizlik itimallıǵın esaplaw kerek. Onıń ushın bul teńsizlikti oǵan teń kúshli yamasa teńsizlikler menen almastıramız. Bul teńsizliklerdi oń sanǵa kópaytiramiz:. Eger belgilewdi kiritsak, ol halda (1. 14. 5) formulaǵa tiykarlanıp :
■
1. 17-mısal. Detalning standart bolmaǵan bolıwı itimallıǵı 0. 6 ǵa teń. n=1200 dane detal ishinde standart bolmaǵan detallar bolıwı salıstırmalı chastotasınıń p=0. 6 itimallıqtan shetlesiwi absolut ma`nisi 0. 05 ten úlken bolmawi itimallıǵın tabıń.
(1. 4. 10 ) ga tiykarlanıp,.

Paydalanılǵan ádebiyatlar

1. Abdushukurov A. A. Xi-kvadrat kriteriysi: teoriyası hám qollanıwı, O'zMU, 2006.
2. Abdushukurov A. A., Azlarov T. A., Djamirzayev A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan mısal hám máseleler kompleksi. Tashkent «Universitet», 2003.
3. Azlarov T. A., Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan Anglichan-orıssha -ózbekshe sózlik. Tashkent: «Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A. A. Itimallar teoriyası. Lekciyalar teksti. Tashkent: «Universitet», 2000.
5. Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teoriya veroyatnostey. Matematicheskaya statistika.- 2-ye izd.- M.: FIZMATLIT, 2005.
6. Vatutin V. A., Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I., Shistyakov V. P. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika v zadachax M.: 2003.
7. Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Matematicheskaya statistika. M.: Visshaya shkola, 1984.
8. Kibzun A. I., Goryainova Ye. R., Naumov A. V., Sirotin A. N. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. Bazoviy kurs s primerami i zadachami / Uchebn.posobie.- M.: FIZMATLIT, 2002.
9. Kibzun A. I., Pankov A. R., Sirotin A. N. Uchebnoe posobie po teorii veroyatnostey. — M.: Izd-vo MAI, 1993.
10. Korshunov D. A., Shernova N. I. Sbornik zadach po matematicheskoy statistikalıqe: uchebnoe posobie. 2-ye izd., ispr.-Novosibirsk, izd-vo Instituta matematikalıqı, 2004.
11. Kremer N. Sh. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika : Uchebnik dlya vuzov. 2-ye izd., pererab. i dop.- M.: YuNITIDANA, 2004.
12. http://www. lib. homelinex. org/math/;
13. http://www. eknigu. com/lib/mathematics/;