Transendend tenglamalar

Nyuton usuli (Tangents usuli, linearizatsiya)
Nyuton usulining geometrik ma’nosi shundan iboratki, y = f(x) egri chiziq yoyi tangens bilan almashtiriladi. Buning uchun [a, b] oraliqda x0 ildizining qandaydir boshlang‘ich yaqinlashuvini tanlaymiz va C0(x0, f(x0)) nuqtada y = f(x) egri chizig‘ini kesib o‘tguncha teginamiz. abscissa o'qi. C0 nuqtasidagi tangens tenglama ko'rinishga ega
= f(x0) + f '(x0)(x - x0). (13)
Bundan tashqari, y = 0 bo'lgan abscissa x1, ildizning yaqinlashishi sifatida qabul qilinadi:
(14)
Keyin yangi C1(x1, f(x1)) nuqta orqali tangens o'tkaziladi va uning 0x o'qi bilan kesishish nuqtasi x2 aniqlanadi va hokazo. Umumiy holda, tangens usuli formulasi quyidagi shaklga ega:
(15)
Hisob-kitoblar natijasida x1, x2, ..., xi, ... taxminiy qiymatlar ketma-ketligi olinadi, ularning har bir keyingi a'zosi oldingisiga qaraganda x* ildiziga yaqinroqdir.
Dastlabki x0 ga yaqinlik shartni qondirishi kerak
(x0) f (x0)  0. (16)
Aks holda, Nyuton usulining yaqinlashishi kafolatlanmaydi, chunki tangens x o'qini [a, b] segmentiga tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tadi. Amalda, [a, b] oraliq chegaralaridan biri odatda x0 ildizining dastlabki yaqinlashuvi sifatida tanlanadi, ya'ni. x0 = a yoki x0 = b, buning uchun funksiya belgisi ikkinchi hosilaning belgisi bilan mos keladi.
Nyuton usuli f (x)hosilasining moduli ildiz yaqinida yetarlicha katta bo‘lgan tenglamalarni yechishda yaqinlashuvning yuqori tezligini ta’minlaydi, ya’ni. y = f(x) funktsiyaning ildiz qo'shnisidagi grafigi katta tiklikka ega. Agar [a, b] oraliqdagi y = f(x) egri chiziq deyarli gorizontal bo'lsa, u holda tangens usuli tavsiya etilmaydi.
Ko'rib chiqilayotgan usulning muhim kamchiliklari - iterativ jarayonni tashkil qilish uchun funktsiyaning hosilalarini hisoblash zarurati. Agar f ‘(x) ning qiymati [a, b] oralig'ida ozgina o'zgarsa, u holda hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun formuladan foydalanish mumkin.
, (17)
bular. lotin qiymatini faqat bir marta boshlang'ich nuqtada hisoblash kerak. Geometrik jihatdan bu i = 1, 2, ... boʻlgan Ci(xi, f(xi)) nuqtalardagi tangenslar y = f(x) egri chiziqqa chizilgan tangensga parallel chiziqlar bilan almashtirilganligini bildiradi. boshlang'ich nuqtasi C0(x0 , f(x0)).
Xulosa o'rnida shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytilganlarning barchasi x0 boshlang'ich yaqinlashuvi tenglamaning haqiqiy x* ildiziga etarlicha yaqin tanlangan holda to'g'ri bo'ladi. Biroq, buni qilish har doim ham oson emas. Shuning uchun Nyuton usuli tez-tez tenglamalarni echishning yakuniy bosqichida qandaydir ishonchli konvergent algoritm operatsiyasidan keyin qo'llaniladi, masalan, bisektsiya usuli. Oddiy ildiz uchun yaqinlashish tezligi yuqori va ko'p ildiz uchun geometrik progressiya tezligiga mos keladi.
Usulning soddalashtirilgan versiyasi:
Agar  const , то  (for1)
for1

. (18)
Izoh. Agar variant murakkab bo'lsa, usulning ushbu versiyasi tegishli.
Misol. Tangens usuli yordamida tenglamaning  [0;1] ildizini aniqlashtirish kerak.
с 10 -3 aniqlikda (jadval. 5) .
.
Таблица 5

N
0	0	1	-3	-0,3333
1	0,3333	0,0371	-2,6667	-0,0139
2	0,3472	0,0003	-2,6384	-0,0001
3	0,3473

x 3 - x 2 <  .

  0,347 .