Transendend tenglamalar

Yarim bo'linish usuli(Dixomatiya)
Menimcha, eng oson usul. Bu oddiy va juda ishonchli. Dixotomiya usuli har qanday uzluksiz funktsiyalar, shu jumladan differensial bo'lmaganlar uchun oddiy ildizga yaqinlashadi. Yaxlitlash xatolariga chidamli.
Uning mohiyati segmentlarni qurishda yotadi, lekin shu bilan birga, har bir qadamda keyingi segment yarmiga bo'linadi va yarmi keyingi segment sifatida olinadi, oxirida funksiya qiymatlarga ega. Jarayon keyingi segmentning uzunligi 2ε qiymatidan kam bo'lguncha davom ettiriladi. Keyin uning o'rta nuqtasi ε ga teng aniqlik bilan ildizning taxminiy qiymati bo'ladi.
Bu usul uchun f(x) funksiya uzluksiz va berilgan [a, b] oraliqda chegaralangan bo‘lishi muhim, ichida ildiz joylashgan. Bundan tashqari, f (a) va f (b) oraliqlari oxiridagi funktsiya qiymatlari turli xil belgilarga ega, ya'ni. f(a)f(b) <0 sharti bajariladi.
Ushbu usulning algoritmini quyidagicha yozish mumkin:

• 
  Ma'lumotlarni kiriting (a, b, e).
  
• 
  Agar kerakli aniqlikka erishilsa (| b - a | < 2e), u holda 6-bosqichga o'ting
  
• 
  Keyingi segmentning o'rtasini oling (x= ( a + b )/ 2).
  
• 
  Agar funktsiyaning a va c nuqtalaridagi qiymatlari bir xil belgiga ega bo'lsa (f(a)*f(c)>0), keyingi segment sifatida o'ng yarmini (a=c), aks holda chap yarmini oling. (b=c).
  
• 
  2-bandga o'ting.
  
• 
  Javobni chop etish c=...
  

Bisektsiya usulini amalga oshirish oson va iterativ ildizni tozalash usullari orasida eng ko'p qirrali hisoblanadi. Uning qo'llanilishi har qanday uzluksiz f(x) funktsiyasi uchun yechimni olishni kafolatlaydi, agar u belgini o'zgartiradigan interval topilsa. Agar ildizlar ajratilmagan bo'lsa, tenglamaning ildizlaridan biri topiladi.
Usul har doim birlashadi, lekin yaqinlashish tezligi kichik, chunki bir iteratsiyada aniqlik taxminan ikki barobar ortadi. Biroq, ikkiga bo'linish usulining ba'zida sezilarli kamchiliklari mavjud. Yuqorida aytib o'tilganidek, tenglamani yechish uchun funksiya o'z belgisini o'zgartiradigan segmentni topish kerak. Va agar ushbu segmentda bir nechta ildiz bo'lsa, unda usul qaysi ildizlarga yaqinlashishi aniq emas. Bundan tashqari, usul hatto ko'plik ildizlari uchun ham qo'llanilmaydi. Nihoyat, u tenglamalar tizimlari uchun ishlatilmaydi.
Shuning uchun amalda, odatda, tenglamaning ildizlarini taxminan topish uchun ikkiga bo'linish usuli qo'llaniladi, chunki kerakli aniqlikning oshishi bilan hisob-kitoblar miqdori sezilarli darajada oshadi.
Bisektsiya usulining kamchiliklaridan biri barcha iterativ usullarda, deyarli barchasida mavjud. Bunday holda, faqat ilgari topilgan ildizlarni olib tashlash yordam beradi. Biroq, men sezganimdek, usullarning aniqligi pasayadi.
Ildizni olib tashlashni amalga oshirish: "Agar x1 f(x) tenglamaning oddiy ildizi bo'lsa, uzluksiz, u holda g(x)=f(x)/(x-x1) yordamchi funksiya uzluksiz bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalarning x1dan tashqari barcha nollari bir-biriga to‘g‘ri keladi, x1 dan tashqari, u holda u ko'paytmaning nolga teng g (x) bir kam bo'ladi; ikkala funktsiyaning qolgan nollari bir xil bo'ladi."
Misol. Dixotomiya usuli yordamida x 3 - 3 x +1 = 0 tenglamaning ildizini 10 -3 aniqlikda aniqlashtirish kerak.
Таблица 2

N	a n	b n	f(x n)
0	0	1	0,5	-0,375
1	0	0,5	0,25	0,2656
2	0,25	0,5	0,375	-0,0723
3	0,25	0,375	0,3125	0,0930
4	0,3125	0,375	0,3438	0,0092
5	0,3438	0,375	0,3594	-0,0318
6	0,3438	0,3594	0,3516	-0,0113
7	0,3438	0,3516	0,3477	-0,0011
8	0,3438	0,3477	0,3458	0,0040
9	0,3458	0,3477	0,3468	0,0013
10	0,3468	0,3477	0,3473

a10 - b10 = 0,3468 - 0,3477 = 0,0009 < , где = 0,001.

  0,347 .