Trigonometrik funksiyaning yig’indini ko’paytmaga almashtirish formulalari

(4) va (5) tengliklarni hadma-had qo’shamiz

cos(α + 𝜷)+cos(α - 𝜷) = 2cos αcos𝜷 → cos𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷= [cos(𝜶 + 𝜷) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷)] (6)

(5) dan (4) ni ayirib soddalashtirilsa (7) formulani hosil qilamiz

sin𝜶𝒔𝒊𝒏𝜷 = [cos(𝜶 − 𝜷) − 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)] (7)

•  

Huddi shuningdek, (3) va (4) tengliklardan quyidagilar kelib chiqadi:

• Huddi shuningdek, (3) va (4) tengliklardan quyidagilar kelib chiqadi:
• 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 (10)
• 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝜷 = −𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 (11)
• Sinus toq funksiya bo`lgani uchun, (11) formulani
• 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒏 (11a) ko`rinishda yozish mumkin.

•  

Trigonometriyada asosiy qo‘shish formulalari

Sakkizta asosiy formula mavjud: yig'indining sinusi va ikki burchak ayirmasining sinusi, yig'indi va ayirmaning kosinuslari,

yig'indi va ayirmaning tangenslari va kotangentlari. Quyida ularning standart formulalari va hisob-kitoblari keltirilgan.

1. Ikki burchak yig‘indisining sinusini quyidagicha olish mumkin:

Birinchi burchak sinusining ko'paytmasini ikkinchisining kosinusiga hisoblaymiz;

Birinchi burchakning kosinusini birinchi burchakning sinusiga ko'paytiring;

Olingan qiymatlarni qo'shing.

Formulaning grafik yozilishi quyidagicha ko'rinadi: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

2. Farqning sinusi deyarli bir xil tarzda hisoblanadi, faqat natijada olingan mahsulotlar qo'shilmasligi kerak, lekin bir-biridan ayiriladi. Shunday qilib,

biz birinchi burchak sinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchakning kosinusining ikkinchisining sinusiga ko'paytmalarini hisoblaymiz va ularning farqini topamiz. Formula shunday yoziladi: sin (a - b) = sin a cos b + sin a sin b.

3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun mos ravishda birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz: cos (a + b) = cos a. cos b - sin a sin b

• 3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun mos ravishda birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz: cos (a + b) = cos a. cos b - sin a sin b
• 4. Kosinuslar farqi: berilgan burchaklarning sinuslari va kosinuslarining ko’paytmalarini avvalgidek hisoblab chiqamiz va qo’shamiz. Formula: cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
• 5. Yig‘indining tangensi. Bu formula kasr sifatida ifodalanadi, uning numeratorida kerakli burchaklar tangenslarining yig'indisi, maxrajda esa kerakli burchaklar tangenslarining ko'paytmasi ayiriladi. Uning grafik yozuvidan hamma narsa aniq: t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a t g b
• 6. Farqning tangensi. Biz bu burchaklarning tangenslarining farqi va mahsulotini hisoblaymiz va ular bilan xuddi shunday harakat qilamiz. Maxrajda bittaga qo‘shamiz, aksincha emas: t g (a - b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b.
• 7. Yig'indining kotangensi. Ushbu formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar uchun bizga ushbu burchaklarning kotangentlarining ko'paytmasi va yig'indisi kerak bo'lib, biz quyidagicha harakat qilamiz: c t g (a + b) = - 1 + c t g a c t g b c t g a + c t g b.

E’tiboringiz uchun rahmat!