Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

§. Сонли функциялар. Натурал сон
натурал бўлувчилари сони ва йиғиндиси
1-таъриф. Аниқланиш соҳаси ё қийматлар соҳа-
си, ёки ҳар иккаласи ҳам бутун сонлар тўплами бўл-
ган функция сонли функция дейилади.
1. Беридган а натурал соннинг' иагурал бўлувчила-
ри сонини т(л) орқали белгилайлик Маълумки, (10-§,
(5)) ҳар қандай «> 1 натурал сонни
и = р1'Р2' • '_Р\^к (1)
шаклда ёзиш мумкин эди. (1) шаклдаги соннинг барча натурал бўлувчилари кўринишга эга бўлади, бу ерда
(I < Р, < <* , 0 < Ра < «з 0 < Р_А < и._й. (3)
п соннинг барча бўлувчиларини топиш учун (2) да- ги р, ларнинг мумкин бўлган барча қийматларини қа- раб чиқиш керак. Ҳар бир р_г, (3) га асосан, а, + 1 та қиймаг қабул қилади
р, ларнинг ҳар хил қийматларига мос келувчи қпй- матлар сони (а, + 1 )(а_а + 1) • • • (а_й + 1) га тенг. Демак, т(«) = (а, + 1 (а ₅+ 1) ■ • • (а_й + 1 >.
1-мисол. я = 504 нинг натурал бўлувчилари сони- ни топинг.
504 = 2³ • З² • 7 бўлгани учун +504) — т(2³ • У • 7) =» «=(3 + 1)(2 + 1) 1 + 1), т(504) =24 эканини топамиз.
2. Биз олдинги бандда п сонининг барча нагурал бўлувчилари сонини ифодаловчи функцияни топдик. Энди шу натурал бўлувчиларнинг йиғиндии қайси формула орқали берилишини текширамиз.
п сонининг барча натурал бўлувчиларининг йиғиндисини о(п) ёки 2^ орқали белгилайлик.
Қуйидаги кўпайтмани қарайлик:

Бу ерда ҳар бир Р, (/=1+) бир-бирига боғлиқсиз ра- вишла 0 дан а, гача қийматларни I абул қилади. Гео- метрик прогрессия ҳадлари йиғиндисини топиш форму- ласидан фойдаланиб (4) йиғиндисини қуйидагича ёза- миз:

Иккинчи томондан (5) нинг чап юмонидаги ҳар бир рЬ (*' = 1А 0<р,<а,) п соннинг бўлувчисидир. п сон- нинг ҳар бир бўлувчиси р\'■ р?■ • ■ р\^к кўринишда бў- лади. Демак, (5) тенглик п сонининг натурал бўлувчи- лари йиғиндисини ифодаловчи формула экан, яъни
2-мисол. 504 нинг барча натурал бўлувчилари йиғиндисини топинг.

§. Қолдиқли бўлиш

Биз юқорида а ихтиёрий бутун сон, B эса натурал сон бўлганда — нисбат ҳар доим бутун бўлавермасли гини эслатиб ўтган эдик. Лекин қуйидаги теорема до- имо ўринли бўлади.
Т е о е м а (қолдиқли б ў л и ш). Ҳар қандай а^Т. вг B^ N учун шундай ягона (](- 2. ва ягона ман- фиймас г бутун сон топиладики, улар учун ушбу муносабатлар ўринли бўлади.
Исботи. Ьд сон B нинг а дан катта бўлмаган энг катта карралиси бўлсин. У ҳолда 6г/< а -ва аҲЬцҲЬ муносабатлар ўринли бўлади (Архимед аксиомаси).
Бу икки боғлаиншдан Ьд-Ҳа 1) муносабат келиб чиқааи. Бу қўш :епгс1пликнн т ҳар бир к;к ми- га (—Ьд) ни қўшсак, 0<а -Ьг]<.B тенгсизлик ҳо..ил
бўлади. Бу ерда а — Ьд=г белгилаш киригсак, (1) ва' (2) муносабатлар ўринли бўлааи.
Энди <7 ва г ларнинг ягопалигини исбот цилайлик. Фараз қилайлик (1) ва (2) ни қаноатлантирадиган
ва г,(г,+г) мавжул, яъни
муносабатлар бажарилсин. (1) ва (3) дан Ьд-\-г = ~Ьу_х +г, ёки г—г, = B\q — <7,) тенглик ҳосил бўлади. Охирги тенгликаан (г^-г,)/6 келиб чиқади. Лекин |г — ^г\ I < B бўлганидан (г — г,)/й муносабат фақчт ва фақат г—г, = 0 бўлгандагина бажарилади, яъни г, = г келиб чиқади. г — г, = 6(<7 — дқ) тенгликдан г, = г ва B нинг натурал сон эканлигини эътиборга олинса, у ҳол- да 7, = (1) ва (2) муносабатларни қаноатлантирувчи г сонлари ягона экан. Агар q + 0 ихтиёрий бутун сон бўлса, у ҳолда (1) ва (2) муносабатлар \B \ учун ўрин- ли бўлади.


1-теорем а. (а/£)=Н(О_{а B} = й_ь) Q ((а? B) = B)].
Исботи. а ва B сонларнинг ҳар бир умумий бў- лувчиси B ни ҳам бўлади а/B бўлгани учун B ни бў- лувчи ҳар бир сон а ни ҳам бўлади. Шунинг учун О_{а B}=В>_B. Лекин B сонни бўлувчи сонларнинг энг кат- таси B нинг ўзидир. Шунинг учун (а; B) = B,
Фараз қилайлак, а сон B га бўлинмасин. У ҳолда қолдиқли бўлиш ҳақидаги теоремага асосан қуйидаги тенгликлар системасини ёзиш мумкин:
(1) системянинг ўнг томонидаги тенгсизликлар сис- темасига эътибор берсак, қуйидаги муносабат кўзга ташланади:
бу ерда Г; (1=2,п) ларнинг барчаси натурал сонлар. Лекип натурал сонлар қуйидан чегараланган, шунинг учун бирор п номердан бо нлаб г_п+1=0 бўлади.
(1) тенгликлар системасининг биринчисига асосан а ва B нинг ихтиёрий умумий бўлувчиси г₂ ни бўлади (2-§ даги 7-хоссага қ ) ва аксинча а=г₂—B]_х га асо- сан г₂ ва B нинг ҳар қандай умумий бўлувчиси а сон- ни бўлади. Демак, (О_а.B = Оь, г,)=> ((а; B) = (B; г₂)).
(1) системадаги иккинчи, учинчи ва ундан кейин келадиган тенгликлар ҳамда 1-теоремага асосан
Иккита соннинг ЭКУБ ни бу усулда топишни би- ринчи бўлиб Евклид кўрсатгани туфайли бу усул одат- да Евклид алгоритми деб юритилади.
(2) га асосан О_а,B = А_П ^ва (#; B)=г_л бўлгани учун қуйидаги 'хулосани ёза оламиз: