Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

4n+3, 6n+5, 4n+1 (n=0,1,2…) кўринишдаги арифметик кетма-кетликнинг чексиз кўп туб сонларга эга эканлиги ҳақидаги теоремалар.

Қўлланмамизнинг 2-мавзуида натурал сонлар тўпламида чексиз кўп туб сонлар мавжуд эканлигини кўрсатган эдик. Энди қуйидаги иккита арифметик прогрессияни қарайлик:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,….,
3, 7, 11, 15, 19, 23, 31, ….
Агар бу прогрессияларнинг ҳадларига эътибор берсак, уларнинг бир қанчаси туб сонлардан ибораг эканлигини кўрамиз. Бир неча ҳадлари туб сонлар бўлган арифметик прогрессияларни доимо тузиш мумкин. Шунинг учун бизни (а;d) = 1 бўлганда а, a+d, a+2d,…, а+пd, . . . прогрессиядаги туб сонларни топиш масаласи қизиқтиради. Бу масалани ҳал этиш учун бутун дунё олимлари узоқ вақт уринишди. Ниҳоят ўз замонасининг буюк математикларидан бири бўлган Лежен Дирихле (1805— 1859) мазкур масалани тўла-тўкис ҳал қилади.
1-ТЕОРЕМА (Дирихле теоремаси). Агар (а; d) = 1 ва nN бўлса, у ҳолда умумай ҳади а+nd кўринашда бўлган прогрессаяда чексиз кўп туб сонлар бўлади.
Бу теоремани исботлаш учун математик анализ ва функциялар назариясининг мураккаб усулларидан фойдаланишга тўғри келгани туфайли биз уни исботлаб ўтирмасдан унинг қуйидаги баъзи бир махсус кўринишга эга бўлган прогрессияларини қараб ўтамиз: