Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф
Download 59.72 Kb.
|
domla algebra12
а ва B сонларнинг умумий бўлувчилари тўплами Q*, * шу сонлар ЭКУБ нинг бўлувчилари тўплами Огл билан устма-уст тушади ва бу сонларнинг ЭКУБ Ев- клид алгоритмид-аги нолдан фарқли энг охирги қол- диққа тенг бўлади. Бу хулосани қисқача қуйидагича ёзиш мумкин: (Од, * = B(0> *>) Q ((«■; B)*=гп).
Сонларнинг энг катта умумий бўлувчиси. Ўзаро туб сонлар 1-таъриф. а ва B бутун сонларнинг иккаласини ҳам бўладиган сон шу сонларнинг умумий бўлувчиси, дейилади. Биз фақат натурал бўлувчилар бйлангина шуғулла- намиз. Умуман а, B^2 сонлар бир нечта умумий на- турал бўлувчиларга эга бўлиши мумкин. Бу умумий бўлувчилар тўпламини биз Оа B орқали белгилайлик. Масалан, а = 24, 6 = 18 бўлсин, у ҳолда Q;4 18 = = 11, 2, 3, 6). 2 таъриф. а ва B натурал сонлар умумий бўлув- чиларининг энг каттаси шу сонларнинг энг катта уму- мий бўлувяиси дейилади. а ва B сонларнинг энг катта умумий бўлувчиси қис- қача ЭКУБ деб ёзилиб, у (а; B) кўринишда белгила- нади. Агар Евклид алгоритмини ак ва Ьк сонларга татбиқ этсак, 4-§ нинг (1) сисгемасидаги тенгликларнинг ҳар бир ҳади к марта ортади. Шунинг учун (ак\ ьк) == (а; B к (к £2) (1) бўлааи. Бундан, қуйидаги хоссалар келиб чиқади: Г. Агар берилган сонларнинг ҳар бири ўзгармас сонга кўпайтирилса, уларнинг ЭКУБ ҳам Н1у сонга кў- паяди. 2°. Агар а ва B сонларнинг ҳар бири бирор й сон- га бўлинса, уларнинт ЭКУБ ҳам шу сонга бўлинади, яъни тенглик ўринли бўлади. Исботи. (1) га асосан қуйидагиларни ёза оламиз: Бунлан !^~\ ~| тенглик келиб чиқади. Хусусий ҳолда (а; B)=й бўлса, (2) дан | —-—^=1 келиб' чиқади. те о ре м а. Агар {(а\ с) •= 1 Л (аb/с)\ => B/с, яъна (а: с)=\ бўлиб, аЪ кўпайтма с га бўлинса, у ҳолда B сон с га бўлинади. Исботи. (а; с) = I нинг иккала қисмини B га кў- пайти.риб, куйидагига эга бўламиз: (ай; Ьс)=B. Теоре- ма шартига кўра аb/с ва Ьс сон с га каррали бўлгани \чун Ьс/с. У ҳолда 1-хосса ва (1) тенгликка асосан (аb\ Ьс)/с. Лекин (аb\ Ьс)=B бўлгани учун B/с. Биз юқорида, асосан, иккита соннинг ЭКУБ ни топиш билан шуғулландик. Бў тушунчани п та натурал. соннинг ЭКУБ ни топишга ҳам татбиқ этиш мумкин п та а,, а2 ап соннинг ЭКУБни (аи а2, . . ., ап) оркали белгилайлик. теорема. Ихтиёрий а, B, с натурал сонлар учун (а; B, с) = ((а\ B), с) тенглик ўоинли бўлади Исботи. (а; B) = йи (ди с) = й2, (а; B\ с) = й белгилашларни киритамиз. Белгилашларга асосан а/йи B/йи й^/й^, с/й.г. Булардан а\йъ B/й2, с/й2 келиб чиқа- ди. Демак, й2 сон а, B, с сонларнинг умумий бўлув- чиси ва й сон бу сонларнинг энг катта умумий бўлув- чиси бўлгани учун муносабаг ўринли. Евклид алгоритми натижасига асо- сан й, = акх + ЬЬ2, й2 = йук.3-\-сЬь бўлади. Бу ерда к^г а = \, 2, 3, 4). Юқоридаги тенгликлардан й2 = кг(акх Ьк2) ск^ — акхк3 + Ьк2к3 + ски (4) (6) тенгликка асосан муносабат келиб чиқади. (3) ва (5) муносабатлардан й2=й тенглик келиб чиқади. Демак, (а\ B\ с) — (а\ B)\ с) экан. Фараз қилайлик п та ах, а2,,.., ап (6) натурал сон берилган бўл:ин. Бу сонларнинг ЭКУБ ни топиш учун биз аввало (аи а2) = й2 ни, сўнгра \й2\ а.2\=йг, (й3\ а4) = йи..., (йп-Х\ ап) = йп ларни топаМИЗ. У ҳолда Е)а. ап — ^Л/,, а3, а„...,ап“ . . ~ ап —= Ойа бўлгани учун (аи а2,..., ап) = йп бўлади. 1-таъриф. Агар (аи а2,... ,ап) = 1 бўлса, у ҳол- да аи ап сонлар ўзаро туб сонлар дейилади. таъриф. Агар а,, аг,...,ап сонларнинг ихтиё- рпй иккитаси ўзаро туб бўлса, у ҳолла улар жуфт- жуфти билан ўзаро туб ёки жуфтлама ўзаро туб сонлар дейилади. Агар (6) кетма-кетликдаги сонлар жуфт-жуфти би- лан ўзаро туб бўлса, улар ўзаро туб бўлади. Леьин тескариси тўғри эмас. Бу тасдиқнинг тўғрилигини юқо- рида келтирилган мисол тасдиқлайди. Чунки, (3; 4; У)=1, лекин (3;9) = 3. §. Энг кичик умумий каррали (бўлинувчи) Ҳар бири нолдан фарқли бўлган а ва B бутун сон- лар берилган бўлсин. таъриф. а ва B соқларнинг иккаласига бўлина- диган сон шу сонларнинг умумий карралиси (бўли- нувяиси) дейилади. а ва B сонларнинг умумий карралилари чексиз кўп бўлади. таъриф. а ва B сонлар умумий карралиларининг энг кичиги шу сонларнинг энг кияик умўмий карра- лиси дейилади. а ва B сонларнинг энг кичик умумий карралиси қисқача ЭКУК деб ёзилади. а ва B сонларнинг ЭКУК \а; B\ кўринишда белгиланади. Мисол. Агар а = 12 ва й=*16 бўлса, у ҳолда 112; 16| =48 бўлади. Энди биз иккита соннинг ЭКУБ ва ЭКУК орпсида- ги боғланишни қарайлик. Фараз қилайлик, т сон а ва B сонларнинг бирор умумий карралиси бўлсин. Уму- мий карралининг таърифига асосан т/а ва т/B. т}а бўлганидан Бундан ак!B деган хулосага келамиз. (а; B) = й, яъни а = ахй, B = B,й ва (аг; B{) = 1 бўлади. ак/B >ал/?с1/B,с1; ахкй/Ьхй=^ахк\Ьх, лекин (ах; £,)=! бўлгани учун к/Ьх бўлади. Демак, (2) ни (1) га қўйсак ҳосил бўлади. (3) кўринишдаги ҳар бир сон а ва B сон- ларнинг умумий карралиси бўлади. а ва B сонларнинг ЭКУК ни топиш учун (3) тенг- ликда / = 1 деб олиш кифоя. Демак, Иккита соннинг ЭКУК қуйидаги хоссаларга эга: 1°. Иккита соннинг ЭКУК шу сонлар кўпайтмасини уларнинг ЭКУБ га бўлган нисбатига тенг. 2°. а ва B сонларга бўлинадиган ҳар бир т сони шу сонларнинг ЭКУК га ҳам бўлинади ((5) га асосан). сонлар ўзаро тубдир чунки улар бўлганидан Ьх ва а, сонлар ўзаро тубдир чунки улар бўлганидан Ьх ва а, 4°. Ўзаро туб сонларнинг ЭКУК шу сонлар кўпайт- масига тенг, яъни ((а; 6)=1)=^(|а5 B\-а-B). 5°. Агар /г>0 бўлса, у ҳолда \ак\ Ьк\=к\а\ B\. 6°. Агар а/к ва B(к бўлса, у ҳолда Иккитадан ортиқ сонларнинг ЭКУК ни топиш маса- ласи иккита соннинг ЭКУК ни топишдаги каби ҳал этилади п та а, а2, ...,ап сонларнинг ЭКУК ни |а,; а2;...';ал| кўринишда белгилайлик. Теорема. Ихтиёрий а, B, с натурал сонлар учун [а; B\ с)=[[а; B\; с\ тенглик ўринли бўлади Исботи. [а; B\ с\=т, |а; B\ = ти [аг,; с\ = т2 белгилашларни киритамиз. Белгилашларга асосан, т2(ти т2(с бўлади. Бу муносабатлардан т2(а, т2(B, тг\с му- носабатлар ҳосил бўлади, яъни /л2 сон а, B, с сонлар- нинг бўлинувчиси бўлади, шунинг учун муносабат ўринли. Иккинчидан, т(а, т/B ва т(тх бўлгани учун муносабат ўринли. (6) ва (7) муносабатларга асосан т2 = т бўлади. Фараз қилайлик 1%; а;1|=-от3 \тп-B ап]=тп бўлсин ЭКУК нинг хоссасига асосан я, ва. а2 га бўлинадиган ҳар бир С0ц уларнннг ЭКУК га ҳам бўлинади. Бошқача айтган- Да а, ва а2 нинг умумий карралилари шу сонлар ЭКУК ларининг умумий карралилари билан устма-уст туша- ДИ, яъни бўлгани учун |а,- а2;...; а„] = тп бўлади. Натижа. Жуфтлама ўзаро туб сонларнинг ЭКУК ШУ сонлар кўпайтмасига тенг, яъни \аи а2,..,,йл]=» ^а O’zaro tub sonlar 3-таъриф. Агар (а; B)= 1 бўлса, у ҳолда а ва B натурал сонлар ўзаро туб сонлар дейилади. Ўзаро туб сонлар қуйидаги хоссаларга эга: хоссани исботлайлик. Ҳақиқатан, а/B бўлгани учун а = ЬЬ (к£2) тенглик ўринли. У ҳолда а/с дан М/с бўлади (6; с) = 1 бўлгаци учун 2-хоссага асосан к(с, яъни к—с1 (1^2) тенглик ўринли. Демак, а «* = ЬЬ = B(с1) = (Ьс){, яъни а = (Ьс)( бўлиб, бундан а/Ьс муносабатнинг бажарилиши келиб чиқади. Қолган хоссаларни исбоглашни ўқувчига тавсия қи- ламиз. Download 59.72 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling