Turg'un ko’phadlar halqasi” reja kirish I bob. Ko’phadlar haqida umumiy tushunchalar

II BOB. KOP OZGARUVCHI KOPHADLAR HALQASI
2.1-§ Xalqa va uning xossalari
Xalqa va uning hususiy hollari bŏlmish maydon va jism tushun-chalari ham oldingi ma’ruzada urganilgan gruppa singari algebraning xususiy hollaridir. Gruppada biz bitta binar amal bilan ish kŏrgan edik. Endi biz bŏsh bŏlmagan A tŏplamda ikkita binar (biz ularni kŏpaytirish va qŏshish amallari deb ataymiz) aniqlangan deb qaraymiz. Xalqa tushunchasini ilk bor Dedekind kiritgan.
Ta’rif: A tŏplam xalqa deyiladi, agar u quyidagi shartlarga buysinsa A - additiv abel gruppa;
A da kŏpaytirish amali aniqlangan bŏlib, unga nisbatan A - yarimgruppa;
ya’ni (a,b,sA) a(bs)=(ab)s).
Shŏpaytirish amali kŏshish amaliga nisbatan distributiv amaldir ya’ni (a,b,sA)(a+b)s=as+bs, s(a+b)=sa+sb.)
Agar A dagi kŏpaytirish amali kommutativ bŏlsa ya’ni (a.bA) uchun ab=ba tenglik ŏrinli bŏlsa) u holda A xalqaga kommutativ xalqa deyiladi. Agar A da birlik element mavjud bŏlsa, u holda A xalqaga birli xalqa deyiladi. Agar A tŏplam chekli bŏlsa,u holda xalqa chekli, aks holda cheksiz deyiladi. A dagi nol’ element A xalqaning nol’ elementi deyiladi. Agar A tŏplamning elementlari sonlardan iborat bŏlsa, u holda A xalqa sonli xalqa deyiladi. Ravshanki, ixtiyoriy sonli xalqa kommutativ xalqa bŏladi.

Misollar

1. 
   {0} – nol’ –xalqa.
   
2. 
   Z, Q – butun va ratsional sonlar xalqalari.
   
3. 
   C[a,b] - [a,b] segmentda uzluksiz bŏlgan sonli funktsiyalar xalqasi.
   
4. 
   tZ – t Zg’{1,-1} soniga karrali bŏlgan butun sonlar xalqasi.
   
5. 
   Q [ INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET ]={a+b INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET / aQ , bQ}
   

Yuqorida keltirilgan 1-5 misollardagi xalqalar asosiy xossalari qŏyidagi jadvalda keltirilgan:

Xalqa	Kommutativligi	Birlik element mavjudligi	Teskarilanuvchi elementlar
{0}	Kommutativ xalqa	1=0	0 ^–1=0
Z	Kommutativ xalqa	1	Faqat 1 va –1 sonlar
Q	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
R	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
C[a,b]	Kommutativ xalqa	[a,b] da qiymati 1 ga teng bŏlgan funktsiya.	[a,b] da nol’ qiymat qabul qilmaydigan funktsiyalar
tZ	Kommutativ xalqa	Mavjud emas	Ma’noga ega emas.
Q [ INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET ]	Kommutativ xalqa	1=1+0 INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://uz.denemetr.com/tw_files2/urls_8/34/d-33570/7z-docs/1_html_m4f793edc.gif" \* MERGEFORMATINET	Noldan farqli elementlar

Eslatma. Shuni ta’kidlash lozimki, agar birli xalqada 10 shart bajarilsa, u holda nol’ element teskarilanuvchi bŏla olmaydi, chunki  b uchun 0bh0 1 . Bundan tashqarir, 10 munosabat xalqaning elementlar soni birdan katta bŏlishiga teng-kuchli, chunki a  A g’{0}  (a1=a0 )  (a0=0 ) munosabat ŏrinli. Shuning uchun keyingi mulohazalarimizda biz xalqa nolmas xalqa deb faraz qilamiz.
A xalqada a,bA a-b=a+(-b) tenglik yordamida ayirish amalini kiritamiz.
Teorema. a) Kŏpaytirish amali ayirish amaliga nisbatan distributiv bŏladi, ya’ni (a,b,sA) (a-b)s=as-bs, s(a-b)=sa-sb munosabatlar ŏrinli bŏladi.
b) aA,a0=0a=0.
Isbot. a). (a,b,sA) (a-b)s+bs=((a-b)+b)+s=as ((a-b)s+bs)- bs= as-bs, ya’ni
(a-b)s=as-bs. s(a-b)=sa-sb tenglik xuddi shunday isbot qilinadi.
b). a) ga kŏra a0= a(b - b)= ab- ab=0, 0a= (b - b)a= ba- ba=0.
Ta’rif. ab=0 munosabatni qanoatlantiruvchi nolmas a,b elementlar nolning bŏluvchilari deyiladi.
Teorema . Birli xalqada teskarilanuvchi element nolning bŏluvchisi bŏla olmaydi.
Isbot. a- teskarilanuvchi bŏlib, u uchun ab=0 tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli b element mavjud bŏlsin.
ab=0 tenglikka asoslanib va a^–1(ab)= b tenglikdan foydalanib b=0 ziddiyatli tenglikka kelamiz. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Sonli xalqalar nolning bŏlyvchilari mavjud emas, ammo [a,b] da f(x) = x+ x,
g(x)= x - x tengliklar yordamida aniqlangan C[a,b] xalqa elementlari nolning bŏluvchilari bŏladi, chunki f(x) g(x) =( x+ x) ( x - x) =  x ² - x² = 0.
Butunlik sohasi, maydon va jism tushunchalari.