Творческая исследовательская работа нод и нок и их применение в практических задачах

3. Наименьшее общее кратное натуральных чисел
3.1.Определение НОК и его свойства
Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из двух данных натуральных чисел, называют наименьшим общим кратным этих чисел.
Обозначение наименьшего общего кратного чисел a и b: НОК(a; b).
Свойства наименьшего общего кратного:
1. Наименьшее общее кратное чисел a и b равно наименьшему общему кратному чисел b и a, то есть, НОК(a; b) = НОК(b; a).
2. Если a делится на b, то НОК(a; b) = а.
Например, НОД(8; 24) = 24, так как 24 кратно восьми.
3. Если числа a и b - взаимно простые числа, то НОК(a; b) = a* b.
Например, НОК(8; 3) = 8*3 = 24, так как 8 и 3 взаимно простые числа.
3.2 Различные способы нахождения наименьшего общего кратного
натуральных чисел
1 способ метод полного перебора.
1. Выписываем несколько кратных числа а;
2. Выписываем несколько кратных числа b;
3. Выбираем среди них общие кратные;
4. Среди общих кратных выбираем самое маленькое число – это и есть НОК(a, b).
Например: Найти НОК(6;4).
Решение
Кратные числа 6: 6; 12; 18; 24; 30;…
Кратные числа 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…
НОК(6;4) = 12.
Если числа достаточно большие, то нахождение НОК(а;b) путем перечисления кратных чисел а и b - процесс трудоемкий и ненадежный.
2 способ разложение чисел на простые множители.
1. Найти разложение чисел на простые множители.
2. Выписать множители, входящие в разложение самого большого из чисел (их произведение дает это число).
3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение большего числа, и добавить эти множители в разложение большего числа.
Например: НОД(36; 48) =(2*2*2*2*3)*3 =48*3 = 144.

48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

36 18 9 3 1

2 2 3 3

Данный способ трудно применить, если в разложение входят большие простые числа, но этот способ удобен для приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, так как сразу можно увидеть и дополнительные множители к дробям.

3 способ использование связи НОД и НОК.
НОД(а;b)* НОК(а;b) = а*b.
Вычисляем используя алгоритм Евклида НОД(а;b),
находим произведение а*b, затем вычисляем НОК(а;b) из данной формулы.
Например: Найти НОК(126;70)
Решение
Найдем НОД(126;70) используя алгоритм Евклида:
126 =1*70 + 56; 70 = 1* 56 + 14; 56= 4*14;
НОД(126;70) = 14; 126*70 = 8820; НОК(126;70) = 8820: 14 = 630.