U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Ta’rif (ehtimollikning statistik ta’rifi). Bir xil shart-sharoitda 
tajribalar o„tkazilib, ularning har birida bog„liqsiz sinashlar soni cheksiz 
ortib borganda, 
hodisaning ehtimolligi uning nisbiy chastotasiga 
yetarlicha yaqin bo„ladi, ya‟ni: 
formula o„rinli. 
3-misol. Buyumning sifatini aniqlash uchun tavakkaliga 1000 ta 
buyum olingan. Ular ichidan 2 tasi yaroqsiz chiqdi. Yaroqsiz buyumlar 
chiqishining nisbiy chastotasini toping.
Yechish: 
yaroqsiz buyum chiqishidan iborat hodisa bo„lsin. 
Shartga ko„ra, 
uchun nisbiy chastota
songa teng.
1.4. Ehtimollikning xossalari. Ehtimollikning ta‟riflariga va 
hodisalar ustida amallarga asoslanib, ehtimollikning quyidagi xossalarini 
keltiramiz. 
1. Mumkin bo„lmagan hodisaning ehtimolligi nolga teng:
Isboti: Ma‟lumki,
tenglikdan 
yoki
kelib chiqadi. 
2. 
hodisaga qarama-qarshi hodisaning ehtimolligi quyidagiga 
teng:
( ) . 
Isboti: 
, bo„lgani uchun 
( )
( )
( )
kelib chiqadi. 
3. Agar 
ya‟ni hodisa hodisaga qism osti bo„lsa, 
ularning ehtimollari: 
. 
Isboti: 
hodisa hodisaga qism osti bo„lgani uchun, hodisa
hodisa va 
hodisalarning hech bo„lmaganda birini ro„y berishiga 
teng, ya‟ni 
. Ularning ehtimollari uchun

---

83 
( )
tenglik o„rinli. Agar 
ekanligini e‟tiborga olsak,
kelib chiqadi.
4. Hodisaning ehtimolligi uchun ushbu tengsizlik o„rinli:
5. (Ehtimollikning qo‘shishi teoremasi). Agar ikkita 
va
birgalikdagi hodisalardan hech bo„lmasa birining ro„y berish ehtimolligi 
bu hodisalarning ehtimollari yig„indisidan ularning birgalikda ro„y 
berish ehtimolligini ayrilganiga teng:
. 
va birgalikda bo„lmagan hodisalardan hech bo„lmasa birining 
ro„y berish ehtimolligi bu hodisalarning ehtimollari yig„indisiga teng:
. 
Isboti: 
va hodisalar birgalikda bo„lsin. U holda bu hodisalar 
uchun 
[ ] tenglikni yozish mumkin. Demak,
[ ]
kelib chiqadi.
Endi 
, hodisalarni birgalikda bo„lmagan hodisalar 
yig„indisi ko„rinishida ifodalaylik. Bu hodisalar uchun
( ) , ( )
va 
. 
Birgalikdamas hodisalarning ehtimollari uchun 
va 
va
tenglik o„rinli ekanligidan
( ) ( )
kelib chiqadi. 
Agar 
va birgalikda bo„lmagan hodisalar bo„lsa, ularning bir 
paytda ro„y berish ehtimolligi nolga tengligi uchun
tenglik kelib chiqadi.

---

84 
6. Ixtiyoriy 
va hodisalar uchun
tengsizlik o„rinli.
7. Ixtiyoriy
hodisalar uchun 
⋃
∑
∑ ( 
)
∑
tenglik o„rinli bo„ladi. Bu tenglik Bul formulasi deyiladi.
Masalan, uchta hodisa uchun Bul formulasi quyidagicha: 
. 
Bu hodisalarning hech bo„lmasa birining ro„y berishi ehtimolligini 
quyidagi diagramma orqali tasvirlash mumkin: