U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

1-misol. Quyidagi tanlanmalar berilgan: 2, 1, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 2, 
4, 4, 4, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 4. Tanlanma qiymati bo„yicha chastotalar va 
nisbiy chastotalar poligonini chizing.
Yechish: Berilgan tanlanma bo„yicha variatsion qatorni tuzamiz: 
1,2,3,4. Chastotalar va nisbiy chastotalar empirik taqsimot jadvalini 
tuzamiz:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
4 
7 
0,23 
0,27 
0,18 
0,32 

---

137 
Bu yerda 
tanlanma hajmi. Topilgan qiymat-
lardan foydalanib, chastotalar va nisbiy chastotalar poligonini chizamiz:
 
2-rasm. 
 
2-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti bo„yicha chastotalar va 
nisbiy chastotalar gistogrammasini chizing.
(-5,-2) 
(-2,1) 
(1,4) 
(4,7) 
(7,10) 
(10,13) 
3 
4 
5 
2 
7 
10 
0,1 
0,12 
0,16 
0,06 
0,23 
0,32 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
Chastotalar poligoni
 
i
n
0 
0,05 
0,1 
0,15 
0,2 
0,25 
0,3 
0,35 
1 
2 
3 
4 
Nisbiy chastotalar poligoni

---

138 
Yechish: Bu yerda 
tanlanma 
hajmi, intervalning uzunligi esa
3 
3 
3 
3 
3 
3 
1 
1,3 
1,7 
0,7 
2,3 
3,3 
0,03 
0,04 
0,05 
0,02 
0,07 
0,11 
Topilgan qiymatlardan foydalanib, chastotalar va nisbiy chastotalar 
gistogrammasini chizamiz:
3-rasm. 
4-rasm. 
Chastotalar gistogrammasi
 
1
1,
1,7
0,7
2,3
3,3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
3
3
3
3
3
3
h
n
i
Nisbiy chastotalar gistogrammasi
 
0,03
0,04
0,05
0,02
0,07
0,11
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
3
3
3
3
3
3

---

139 
2-§. Matematik statistika elementlariga doir misollar
 
1-misol. Tanlanma chastotalarining empirik taqsimoti berilgan:
4 
5 
6 
7 
8 
3 
2 
4 
5 
9 
Nisbiy chastotalarni toping. 
Yechish: 
 
tanlanma hajmi.
formuladan foydalanamiz: 
Ma‟lumki, nisbiy chastotalar yig„indisi birga teng:
2-misol. Quyidagi empirik taqsimot berilgan:
2 
6 
9 
11 
12 
8 
10 
20 
Empirik taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini chizing.
Yechish:
tanlanma hajmi. Tanlanmada eng kichik varianta 
, demak,
qiymatlar uchun empirik taqsimot funksiya 
0
)
(
*
50

x
F
. 
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi 
variantalar soni bitta 
bo„lib, u 12 marta 
kuzatilgan, demak, 
qiymatlar uchun empirik taqsimot 
funksiya:
24
,
0
50
12
)
(
*
50


x
F
.
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
variantalar soni ikkita: 
va 
, ular
marta kuzatilgan, demak,
qiymatlar uchun:
4
,
0
50
20
)
(
*
50


x
F
.
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
variantalar soni esa uchta: 
,
va
, ular
marta kuzatilgan, demak, 
qiymatlar uchun: 

---

140 
6
,
0
50
30
)
(
*
50


x
F
. 
eng katta varianta bo„lgani uchun qiymatlarda
F
50
*
(x)=1 bo„ladi. Demak, izlanayotgan empirik taqsimot funksiya 
quyidagicha:

















bolsa.
11
x
agar
1;
bolsa,
11
x
9
agar
0,6;
bolsa,
9
x
6
agar
0,4;
bolsa,
6
x
2
agar
;
24
,
0
bolsa,
2
x
agar
;
0
)
(
*
50
x
F
Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz: 
 
1-rasm. 
 
Misollar 
 
1. Quyidagi tanlanma berilgan: 4, 5, 9, 4, 7, 11, 11, 5, 9, 7, 7, 7, 9, 9, 4, 
4, 5, 5, 5, 11, 13. Bu tanlanmaning variatsion qatori va empirik 
taqsimotini toping.
J: variatsion qator: 4,5,7,9,11,13.
Empirik taqsimot jadvali:
i
x
4 5 7 9 11 13 yoki 
i
x
4 
5 
7 
9 
11 
13 
i
n
4 5 4 4 3 
1 
i
w
0,19 0,24 0,19 0,19 0,14 0,5 
 
2. Yuqorida keltirilgan tanlanma uchun empirik taqsimot funksiyani 
toping va uning grafigini chizing.
*
50
)
(x
F
0 
5 
4 
6 
8 
0,24 
0,4 
0,6 
1 
2 
x
7 
1 
3 
9 10 11 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 

---

141 
J:
























bolsa.
13
x
agar
1;
bolsa,
13
x
11
agar
0,95;
bolsa,
11
x
9
agar
0,81;
bolsa,
9
x
7
agar
0,62;
bolsa,
7
x
5
agar
0,43;
bolsa,
5
x
4
agar
;
19
,
0
bolsa,
4
x
agar
;
0
)
(
*
21
x
F
3. Tavakkaliga tanlab olingan 40 o„quvchining bo„yini (sm. larda) 
o„lchash natijalari berilgan: 
O„quvchilarning 
bo„yi:
160-165 
165-170 
170-175 
175-180 
O„quvchilar soni:
7 
10 
12 
11 
Tanlanmaning chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammasini chizing.
J: 
13 
*
21
)
(x
F
0 
5 
4 
6 
8 
0,19 
0,43 
0,62 
0,81 
2 
x
7 
1 
3 
9 10 11 12 
0,95 
1 
Chastotalar gistogrammasi
1,4
2
2,4
2,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
160-165
165-170
170-175
175-180
h 
n 
i
1


i
i
X 
X 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 

---

142 
 
 
4. Oliy o„quv yurtiga kirish imtihonlarida o„ttizta abituriyent matematika 
fanidan quyidagi ballarni olishdi: 18, 30, 31, 30, 30, 31, 30, 20, 20, 25, 
28, 31, 25, 33, 34, 20, 25, 28, 31, 33, 33, 33, 34, 33, 33, 34, 33, 33, 28, 
25. Variatsion qatorni tuzing. Chastotalar va nisbiy chastotalar 
poligonini chizing 
J: 18,20,25,28,30,31.33,34. 
 
 
 
 
Nisbiy chastotalar gistogrammasi
0,035
0,05
0,06
0,055
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
160-165
165-170
170-175
175-180
h
i

1


i
i
X 
X 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
18
20
25
28
30
31
33
34
chastotalar poligoni
i
n
i
X 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1
2
3
4
5
6
7
8
Nisbiy chastotalar poligoni
i 

i
X

---

143 
TEST TOPSHIRIQLARI 
1. Bitta o„yin kubigi tashlanadi. Kubning tushgan yoqlaridagi ochkolar 
juft son bo„lish ehtimolligini toping. 
A) 1/3 B) 3/7 D) 1/6 E) 1/2 
2. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi. Kublarning yoqlarida tushgan ochkolar 
yig„indisi 6 ga teng bo„lishi ehtimolligini toping. 
A)1/36 B)5/6 D) 5/36 E) 1/5 
3. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi. Kublarning yoqlarida tushgan ochko-
lar yig„indisi 8 ga ko„paytmasi 12 ga teng bo„lishi ehtimolligini toping. 
A) 2/36 B) 1/16 D) 1/36 E) 6/5 
4. Тanga ikki marta tashlanadi. Hech bo„lmaganda bir marta “raqam”li 
tomon tushish ehtimolligini toping. 
A) 3/4 B) 2/4 D) 1 E) 1/4 
5. Yashikda 50 ta bir хil detal bor, ulardan 45 tasi bo„yalgan. Тavakka-
liga 1 ta detal olinadi. Olingan detal bo„yalmagan bo„lish ehtimolligini 
toping. 
A)0,5 B) 0,1 D) 0,4 E) 0,9 
6. Oltita bir хil kartochkaning har biriga quyidagi harflardan biri yozil-
gan: a, l, m, p, c, o. Kartochkalar yaхshilab aralashtirilgan. Bittalab olin-
gan va bir qator qilib terilgan to„rtta kartochkada “olma” so„zini o„qish 
mumkinligi ehtimolligini toping. 
A) 1/300 B) 1/360 D)1/60 E)4/6 
7. Ikkita o„yin kubigi tashlanadi. Kublarning tushgan tomonlaridagi och-
kolar yig„indisi juft son, shu bilan birga, kublardan hech bo„lmaganda 
bittasining tomonida olti ochko chiqish ehtimolligini toping. 
A)1/36 B) 5/36 D) 1/6 E)1/18 
8. Qutida raqamlangan oltita bir хil kub bor. Hamma kublar tavakkaliga 
bittalab olinadi. Olingan kublarning raqamlari ortib borish tartibida 
chiqish ehtimolligini toping.
A) 1/720 B) 1/6 D) 3/4 E) 1/36 
9. Yashikda 100 ta detal bo„lib, ulardan 10 tasi yaroqsiz. Тavakkaliga 4 
ta detal olingan. Olingan detallarda yaroqsiz detallar bo„lmasligi 
ehtimolligini toping.
A)
B) 
D) 
E) 
10. Qurilma 5 ta elementdan iborat bo„lib, ularning 2 tasi eskirgan. 
Qurilma ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. 
Ishga tushirishda eskirmagan elementlar ulangan bo„lish ehtimolligini 
toping. 
4
4
90
100
/
С
С
4
4
91
101
/
С С
4
4
10
100
/
С С
3
4
10
100
/
С С

---

144 
A) 
B) 
D) 
E) 
11. Tavakkaliga 40 dan katta bo„lmagan natural son tanlanganda uning 
40 ning bo„luvchisi bo„lishi ehtimolligini toping. 
A) 0,13 B) 0,15 D) 0,4 E) 6 
12. Alohida kartochkalarga 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlar yozilgan. 
Kartochkalar yaxshilab aralashtirilgach, tavakkaliga 4 tasi olinadi va 
ketma-ket qator qilib teriladi. Hosil bo`lgan son 1234 bo„lishi 
ehtimolligini toping.
A) 0,9 B) 0,4 D) 0,00033 E) 0,0033 
13. Guruhda 30 ta talaba bo„lib, ulardan 8 tasi a‟lochi. Ro„yхat bo„yicha 
tavakkaliga 7 talaba ajratilgan. Ajratilganlar orasida 5 ta a‟lochi talaba 
bo„lishi ehtimolligini toping.
A)
B)
D) 
E)
14. Buyumlar partiyasidan tovarshunos oliy nav buyumlarni ajratmoqda. 
Тavakkaliga olingan buyumning oliy nav bo„lish ehtimolligi 0,8 ga teng. 
Тekshirilgan 3 ta buyumdan faqat ikkitasi oliy nav bo„lishi ehtimolligini 
toping. 
A) 0,384 B) 0,064 D) 0,084 E) 0,8 
15. Ikki хil detallar to„plami bor. Birinchi to„plamdagi detallarning stan-
dart bo„lish ehtimolligi 0,9 ga, ikkinchisiniki esa 0,7 ga teng. Тavakka-
liga tanlangan to„plamdan tasodifiy ravishda olingan detalning standart 
bo„lish ehtimolligini toping. 
A) 0,8 
B) 0,85 
D) 0,9 
E) 0,75