Uch karrali integrallar. Reja; I kirish II asosiy qism

4-ta’rif. to‘plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning yuqori uch karrali integrali deyiladi va

kabi belgilanadi.
5-ta’rif. Agar bo‘lsa, funksiya to‘plamda in­teg­rallanuvchi, ularning umumiy qiymati

funksiyaning to‘plam bo‘yicha uch karrali integrali deyiladi.
2⁰. Uch karrali integralning mavjudligi. Quyidagi teorema uch karrali integralning mavjudligini ifodalaydi.
1-teorema. funksiyaning to‘plamda integral­la­nuv­chi bo‘lishi uchun, son olinganda ham shunday
son topi­lib, to‘plam­ning diametri bo‘lgan har qanday bo‘­lak­lashiga nisbatan Darbu yig‘indilari ushbu
(1)
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Agar funksiyaning dagi tebranishini desak, u holda

bo‘lib, (1) shart ushbu

ko‘rinishni oladi. Bu holda

deyish mumkin.
3⁰. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi. Uch o‘zgaruvchili funksiyalar ma’lum shartlarni qanoatlantirganda ularning integ­rallanuvchi bo‘lishini ifodalaydigan teorema­lar­ni keltiramiz.
2-teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plam­da uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda integrallanuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, fazoda sirt berilgan bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar da shunday ko‘pyoqlik topilsaki,
1) ,
2) uchun bo‘lsa, nol xajmli sirt deyiladi.
3-teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamdagi chekli sonda nol xajmli sirtlarda uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘lsa, funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘ladi.
4⁰. Uch karrali integralning xossalari. Uch karrali integ­rallar ham ikki karrali integralning xossalari kabi xossalarga ega.
1) funksiya da integrallanuvchi bo‘lsin. Agar to‘plam nol xajmli sirt bilan umumiy ichki nuqtaga ega bo‘lmagan bog‘lamli va to‘plamlarga ajralgan bo‘lsa, funksiya har bir va to‘plamlarda integrallanuvchi va



bo‘ladi.
2) Agar funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya ( ) ham to‘plamda integrallanuvchi va

bo‘ladi.
3) Agar va funksiyalar da integralla­nuv­chi bo‘lsa, , funksiyalar integrallanuvchi va

bo‘ladi.
4) Agar funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lib, da bo‘lsa,

bo‘ladi.
5) Agar funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham da integrallanuvchi va

bo‘ladi.
6) Agar funksiya to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda son topi­la­diki,

bo‘ladi (O‘rta qiymat haqidagi teorema).