Uch karrali integrallar. Reja; I kirish II asosiy qism

3.2. Darbu yig’indilarining xossalari.
f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsin. (D) sohaning P bo’linishini olib, bu bo’linishga nisbatan f(x,y) funktsiyaning integral va Darbu yig’indilarini tuzamiz:



1º. olinganda ham nuqtalarni (k = 1, 2, …, n) shunday tanlab olish mumkinki,

bo’ladi.
Bu xossa Darbu yig’indilari , lar integral yig’indi muayyan bo’lishi uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara bo’lishini bildiradi.
2º. Agar P1 va P2 lar (D) sohaning ikki bo’lishlari bo’lib, bo’lsa u holda

bo’ladi.
Bu xossa (D) sohaning bo’linishidagi bo’laklar soni orta borganida ularga mos Darbuning quyi yig’indisining kamaymasligi, yuqori yig’indisining esa oshmasligini bildiradi.
3º. Agar P1 va P2 lar (D) sohaning ixtiyoriy ikki bo’linishlari bo’lib, , va , lar f(x, y) funktsiyasining shu bo’linishlariga nisbatan Darbu yig’indilari bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossa, (D) sohaning bo’linishlariga nisbatan tuzilgan quyi yig’indilar to’plami { } ning har bir elementi ({ } ning har bir elementidan) yuqori yig’indilar to’plami{ } ning istalgan elementidan (quyi yig’indilar to’plami { } ning istalgan elementidan) katta (kichik) emasligini bildiradi.
4º. Agar f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossa f(x,y) funktsiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki karrali integralidan katta emasligini bildiradi:

5º. Agar f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda olinganda ham, shunday topiladiki, (D) sohaning diametri bo’lgan barcha bo’lishlari uchun
,
(3.1)
bo’ladi.
Bu xossa f(x,y) funktsiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig’indilarining limiti ekanligini bildiradi: