Uch karrali integrallar. Reja; I kirish II asosiy qism

3.3. Ikki karrali integrallarning mavjudligi
3.1. – teorema. f(x,y) funktsiya (D) sohada integrallanuvchi bo’lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, (D) sohaning diametri bo’lgan har qanday P bo’linishga nisbatan Darbu yig’indilari
(3.2)
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. f(x,y) funktsiya (D) sohada integrallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra

bo’ladi, bunda

olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, (D) sohaning diametri bo’lgan har qanday P bo’linishga nisbatan Darbu yig’indilari uchun (3.1) munosabatlarga ko’ra

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. olinganda ham, shunday topilib, (D) sohaning diametri bo’lgan har qanday P bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

bo’lsin. Qaralayotgan f(x,y) funktsiya (D) sohada chegaralanganligi uchun, uning quyi hamda yuqori integrallari

mavjud,

bo’ladi. Ravshanki

Bu munosabatdan

bo’lishini topamiz. Demak uchun

bo’lib unda bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x,y) funktsiyaning (D) sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Agar f(x,y) funktsiyaning (D_k) (k= 1, 2, . . ., n) sohadagi tebranishini bilan belgilasak, u holda

bo’lib, teoremadagi (3.2) shart ushbu

ya’ni

ko’rinishlarni oladi.
4. Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalariga oid misollar
1 – misol. Ushbu

integralni 1-taʼrif yordamida xisoblang.
Ravshanki, funktsiya (D) da uzliksiz, demak, 2-teoremaga ko’ra, u (D) da integrallanuvchi bo’ladi. (D) sohani chiziqlar yordamida bo’laklarga ajratamiz va har bir (D_ij) da deb qaraymiz. U holda

bo’ladi.
Bunda esa da bo’lsa .
Demak,

2 – misol. Ushbu

integralni 3 – ta’rif yordamida hisoblang, bunda
(D) sohani chiziqlar yordamida bo’laklarga ajratamiz.

ekanligidan

munosabatga ega bo’lamiz.
3 – misol. Ushbu

intgeralni hisoblang. Bu yerda (D) tomonlari y = x, y = x + a, y = a, y= 3a ( a>0 ) bo’lgan parallelogram.
Chizmadan ko’rinadiki, integralni takroriy integralga keltirishda, uni

ko’rinishida ifodalash maqsadga muvofiq (2-chizma)

1-chizma. 2-chizma

Demak,

4 – misol. Ushbu

integralni hisoblang. Bu yerda (D) parabola va koordinata o’qlari bilan chegaralangan soha.
Chizmadan integralni

ko’rinishida hisoblash maqsadiga muvofiq ekanligini ko’ramiz (3-chizma).

3-chizma.
Demak,