Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

13. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО 
ИСЧИСЛЕНИЯ 
Если целевая функция
 
F = F(x
1
, x
2
, … , x
n
, u
1
, u
2
, … , u
m
), 
где x
1
, x
2
, ... , x
n
– оптимизирующие факторы (параметры);
u
1
, u
2
, … , u
m
– нерегулируемые (входные) параметры,
непрерывна и дифференцируема (по крайней мере дважды), то оп-
тимальные значения параметров x
1
, x
2
, ... , x
n
определяются путем 
нахождения частных производных от функции F по этим парамет-
рам с приравниванием нулю полученных производных. В результа-
те будет получена система из n уравнений: 
1
2
0;
0;
0,
n
F
x
F
x
F
x
 



 



 




(13.1) 
решение которой дает значения параметров 

---

76 
X
1
опт
= f
1
(u
1
, u
2
, …, u
m
), X
2
опт
= f
2
(u
1
, u
2
, …, u
m
), …, X
n
опт
= f
n
(u
1
, u
2
, …, u
m
), 
при которых функция F имеет экстремум. 
Чтобы определить, минимум или максимум соответствуют най-
денному экстремуму функции, нужно проводить дополнительное 
исследование. Для этого применяется способ сравнения значений 
функции, сравнения знаков производных, исследования знаков выс-
ших производных. При использовании способа сравнения значений 
функции вычисляются величины F при параметрах X
L
, несколько 
больших и несколько меньших X
L
опт
. 
Если окажется, что вычисленные величины F
xi
опт
– ∆x
i
и F
xL
опт
+ ∆x
i
больше F
xL
опт
, то экстремум соответствует минимуму функции F. При 
другом соотношении экстремум будет соответствовать максимуму. 
В способе сравнения знаков производных определяются значе-
ния 

F
xi
опт
– ∆x
i
/X
L
и 

F
xL
опт
+ ∆x
i
/

X
i
. Если первая из производных 
имеет положительное значение, а вторая из них — отрицательное, 
то экстремум соответствует максимуму функции F. При изменении 
знака производных с «минуса» на «плюс» — минимуму F. 
Исследование знаков высших производных заключается в вычис-
лении второй производной 

2
F/

x
i
2
при x
i
= x
i
опт
. Если данная произ-
водная меньше нуля, то экстремум F соответствует максимуму функ-
ции, и наоборот. При равенстве нулю второй производной необходи-
мо вычислить следующую производную. Если окажется, что 

3
F/

x
i
3 
при x
i
= x
i
опт
тоже равна нулю, то вычисляется 

4
F/

x
i
4
, и так далее до 
тех пор, пока производная не станет положительной или отрицатель-
ной. Здесь надо иметь в виду, что если первая производная, не обра-
щающаяся в нуль, имеет нечетный порядок (

3
F/

x
i
3
, 

5
F/

x
i
5
), то
в рассматриваемой точке x
i
функция не имеет экстремума. Если пер-
вая, не обращающаяся в нуль производная имеет четный порядок 
(

2
F/

x
i
2
, 

4
F/

x
i
4
), то в данной точке имеется экстремум функции, 
который будет максимумом или минимумом в зависимости от того, 
отрицательна или положительна эта производная. 
Описанные способы исследования функции с целью определе-
ния характера ее экстремума дают надежный результат для однопа-
раметрических целевых функций. Если независимых переменных
в исходной функциональной связи две и более, то проверки функ-
ции на экстремальность по всем переменным в отдельности могут 

---

77 
оказаться недостаточными для получения надежного результата. 
Для этого случая разработаны другие, более сложные методики 
определения характера экстремума функции F с координатами X
i
опт
, 
найденными путем решения системы уравнений.