Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

Моделирование и оптимизация объема упаковки
для наименьшего расхода материала при ее производстве 
 
Особенности оптимизации путем дифференцирования при нали-
чии ограничений рассмотрим на примере определения конструктив-
ных размеров упаковки цилиндрической формы для наименьшего 
расхода материала при том же объеме. Объем упаковки, которую 
требуется получить при наименьшем расходе материала, V = 10 см
3
.
Здесь целевой функцией является площадь поверхности упаков-
ки (в виде цилиндра)
F = 2πR
2
+ 2πRH, 
где R и Н – соответственно радиус и высота цилиндра.
Ограничение задано в виде равенства
 
V = πR
2
H = 10 см
3
. 
Данное ограничение целесообразно объединить с зависимостью 
для критерия оптимальности F, что приведет к уменьшению числа 
независимых переменных в целевой функции. Подставив выраже-
ние для V в уравнение для F, получим
F = 2 πR
2
+ 2V/R, 
где независимым параметром является R. Дифференцируя F по R
и приравнивая к нулю полученное выражение, получим

F/

R = 4πR + (–2V/R
2
) = 0 
при 2πR
3
= V. 
Отсюда 
R
опт
= (V/2π)
1/3
= (10/(2·3,14))
1/3
= 1,167 см. 

---

78 
Так как
H = V/(πR
2
), 
то после вычислений имеем H
опт
= 2,334 см. 
В том случае, если дополнительно задается ограничение в виде 
неравенства, например R ≤ 1 см, то нужно принимать R
опт
= 1 см, 
поскольку это значение является ближайшим к полученному выше 
R
опт
= 1,167 см. Аналогичным образом оптимизируются и другие 
виды упаковок ( типа конуса, куба, параллелипипеда и пр.). 
Таким образом, классический метод отыскания экстремума за-
ключается в решении системы (13.1), где левые части уравнений — 
функции от факторов x
1
, x
2
, ... , x
n
. Поэтому решение системы может 
дать величины x
1опт
, x
2опт
, ... , x
nопт
, являющиеся оптимальными зна-
чениями факторов; их совокупность определяет оптимальное реше-
ние задачи. Если оптимизируется технологический процесс, то это-
му решению соответствует оптимальный режим. 
Однако чтобы убедиться в том, что полученные значения дейст-
вительно оптимальны, необходимо выяснить четыре обстоятельства: 
1. Действительно ли решение системы определяет экстремум: 
известно, что условию уравнений системы может удовлетворять и 
седловая точка, или точка перегиба. 
2. Получен ли экстремум нужного знака (максимум, если нас 
интересует максимум, или минимум в противном случае). 
3. Если система имеет несколько решений, то какое из них от-
вечает глобальному оптимуму, а какие — локальным. Если же за-
висимость имеет несколько максимумов, то глобальным будет тот из 
них, который выше всех остальных; остальные будут локальными. 
4. Все ли ограничения соблюдаются в точке экстремума.