Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

7.4. Условия Каруша–Куна–Таккера 
В теории оптимизации условия Каруша–Куна–Таккера – необ-
ходимые условия решения задачи нелинейного программирова- 
ния. Чтобы решение было оптимальным, должны быть выполнены 
некоторые условия регулярности. Метод является обобщением
метода множителей Лагранжа. В отличие от него ограничения, 
накладываемые на переменные, представляют собой не уравнения,
а неравенства. 
Кун и Таккер обобщили метод множителей Лагранжа (для ис-
пользования при построении критериев оптимальности для задач
с ограничениями в виде равенств) на случай общей задачи нелиней-
ного программирования с ограничениями как в виде равенств, так
и неравенств. 

---

39 
Постановка задачи 
Рассмотрим задачу нелинейной оптимизации 
min ( )
x X
f x

при условиях ( ) 0,
1... .
g x
i
m


Вильям Каруш в своей дипломной работе нашел необходимые 
условия в общем случае, когда накладываемые условия могут со-
держать и уравнения и неравенства. Независимо от него к тем же 
выводам пришли Гарольд Кун и Альберт Таккер. 
Необходимые условия минимума функции. 
Если
ˆ arg min
x
f

при наложенных ограничениях — решение задачи, то найдется 
ненулевой вектор множителей Лагранжа 
m
R
 
такой, что для 
функции Лагранжа
1
( )
( )
( )
m
i i
i
L x
f x
g x





выполняются условия: 
стационарности
ˆ
min ( )
( );
x
L x
L x

дополняющей нежесткости
ˆ
( ) 0,
1... ;
i i
g x
i
m



неотрицательности
0,
1... .
i
i
m
 


---

40 
Достаточные условия минимума функции: перечисленные необ-
ходимые условия минимума функции в общем случае не являются 
достаточными. Существует несколько вариантов дополнительных 
условий, которые делают их достаточными. 
Простая формулировка: если для допустимой точки ˆx  выполня-
ются условия стационарности, дополняющей нежесткости и неот-
рицательности, а также λ
1
> 0, то
ˆ arg min .
x
f

Более слабые условия: если для допустимой точки ˆx  выполня-
ются условия стационарности, дополняющей нежесткости и неот-
рицательности, а также
: ( ) 0,
i
x g x


1...
i
m

(условие Слейтера), 
то 
ˆ arg min .
x
f
