Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров
Teorema. C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi. Isboti
Download 373.34 Kb.
|
Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее у-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3-§. Evklid fazolari
Teorema.
C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi. Isboti. Aytaylik { } ( ) n f x fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni, ixtiyoriy 0 ε > uchun shunday N natural son topiladiki, ixtiyoriy uchun , m n N ≥ ε < − ) ( ) ( x f x f m n tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. Bitta х Х ∈ nuqtani tayinlab, { } ( ) n f x conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak, { } ( ) n f x biror ( ) f x songa yaqinlashadi. Yuqoridagi tengsizlikda t bo‘yicha limitga o‘tsak, ( ) ( ) , n f x f x ε − ≤ ya’ni n f f ε − ≤ munosabat hosil bo‘ladi. Demak, { } ) (x f n ketma–ketlik ( ) f x funksiyaga yaqinlashadi. Endi ( ) f x ning uzluksizligini isbotlash kifoya. Ixtiyoriy 0 ε > uchun shunday m con topiladiki, 3 m f f ε − < tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu m conni tayinlab olsak, ( ) m f x funksiya ixtiyoriy x 0 nuqtada uzluksiz bo‘ladi, ya’ni x 0 nuqtaning shunday 0 x U atrofi topiladiki, ixtiyoriy 0 x х U ∈ nuqtada
( ) ( ) 3 m m f x f x ε − < tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy 0 x х U ∈ nuqta uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 m m m m m m f x f x f x f x f x f x f x f x f f f f ε ε ε 3 ε ε − ≤ − + − + + − ≤ − + + − < + + = ya’ni, ( ) f x uzluksiz funksiya. Ushbu paragraf so‘ngida asosiy normalangan fazolarni jadval shaklida keltiramiz: Belgilash Fazo elementlari Norma uchun formula www.ziyouz.com kutubxonasi 2 n R Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) 1 2 ( , ,..., ) n x x x x = 2
|| || n k k x x = = ∑ 1
R Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) 1 2 ( , ,..., ) n x x x x = 1
k k x x = = ∑ n
R Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) 1 2 ( , ,..., ) n x x x x = 1
k k n x x ≤ ≤ = 2
Ushbu 2 1 k k x ∞ = < ∞ ∑ sharti qanoatlantiruvchi 1 2 ( , ,..., ...) n x x x x = cheksiz sonlar ketma-ketligi. 2 1 k k x x ∞ = = ∑ 1
Ushbu sharti 1 k k x ∞ = < ∞ ∑ qanoatlantiruvchi 1 2 ( , ,..., ,...) n a x x x = cheksiz sonlar ketma-ketligi. 1 k k x x ∞ = = ∑ m
1 sup k k x x ≤ ≤∞ = C
[a,b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar 2 ( ) b a f f x dx = ∫ C
[a,b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar ( ) b a f f x dx = ∫ C[a, b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar max ( ) a x b f f x ≤ ≤ = D
[a,b] [a,b] da barcha n-chi tartibli xosilalarigacha uzluksiz bo‘lgan funksiyalar. max ( ) 1, 2,..., k a x b f f x k n ≤ ≤ = = www.ziyouz.com kutubxonasi 3-§. Evklid fazolari Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz. Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ikki x va y elementlari uchun aniqlangan, (x,y) ko‘rinishida belgilanuvchi va quyidagi 1. ; ) , ( ) , ( x y y x = 2. ; ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 y x y x y x x + = + 3. ;
, ( ) , ( R y x y x ∈ = λ λ λ 4. 0 0 ) , ( ; 0 ) , ( = <=> = ≥ x x x x x to‘rt shartni (aksiomalarini) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi: Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi. Skalyar ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida norma quyidagicha kiritiladi: ) , ( х х х = . Bu yerda arifmetik ildiz nazarda tutilgan. Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi aksiomasi natijasidir. Haqiqatan, λ λ λ λ λ = = = ) , ( ) , ( 2 х х х х х ⋅ . х Normaning uchinchi shartini isbotlash uchun biz oldin, quyidagi Koshi- Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz: x y x ≤ ) , ( y (1)
Ixtiyoriy λ son olib quyidagi ifodani tuzamiz: ( ) 2 2 2 2 ) , ( 2 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( y y x x y y y x x x y x y x + + = + + = + + = λ λ λ λ λ λ λ ϕ . Ushbu 0 ) ( 2 ≥ + = у х λ λ ϕ munosabatiga ko‘ra ) ( λ ϕ kvadrat uchhadning diskriminanti 2 2 2 ) , ( у х у х ⋅ − musbat emas, ya’ni . ) , ( 2 2 2 у х у х ≤ Bu tengsizlikdan kerak bo‘lgan (1) tengsizlik kelib chiqadi. Shunday qilib, www.ziyouz.com kutubxonasi 2 2 2 2 2 2 (1) 2( , ) 2 ( ) . х у х х у у х х у у х ϕ + = = + + ≤ + + = + у Ya’ni normaning uchunchi aksiomasi х у х у + ≤ + isbotlandi. Skalyar ko‘paytma yordami bilan, Evklid fazosida ikki element orasidagi burchak tushunchasini kiritish mumkin: ( , )
, 0 . x y x y φ φ π = ≤ ≤ Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ifodaning absolyut qiymati Koshi- Bunyakovskiy tengsizligiga binoan birdan katta emas, ya’ni har qanday noldan farqli x va y uchun φ aniqlangan. Agar (x,y)=0 bo‘lsa, u holda 2 π φ = bo‘ladi. Bu holda x va y elementlar ortogonal deb ataladi. Agar x element A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lsa, u holda x element A to‘plamiga ortogonal deyiladi va x ⊥A kabi belgilanadi. A 1 to‘plamining har bir elementi A 2 to‘plamining ixtiyoriy elementiga ortogonal bo‘lsa, A 1 va A 2 to‘plamlar ortogonal deyiladi va A 1 ⊥A 2 bilan belgilanadi. Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz. 1. Agar , п п х х у у → → norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda ( , ) ( , ) п п х у х → у bo‘ladi (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi). Isboti. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) п п п п п х у х у х у у х х у х − ≤ − + − ≤ п п у у х х − + − п у Yaqinlashuvchi { } п у ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani uchun oxirgi ifoda nolga intiladi. 2. Evklid fazosining ixtiyoriy x, y elementlari uchun (
2 2 2 2 2 х у х у х у + + − = + tenglik o‘rinli (parallelogramm formulasi). Haqiqatan, www.ziyouz.com kutubxonasi ( ) 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 х у х у х у х у х у х у х х х у у х у у х х х у у х у у х у + + − = + + + − − = + + + + − − + = + + 3. a)
х у ⊥ va 2 х у ⊥ munosabatlaridan 1 ( 2 ) х у у λ µ ⊥ + munosabat kelib chiqadi ( , λ µ -haqiqiy sonlar). b) n х у ⊥ (n =1,2,...) bo‘lib, {y n } ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u holda x ⊥y bo‘ladi. Darhaqiqat, n х у ⊥ bo‘lgani uchun ( , ) 0, n n х у y y = → dan 1-xossaga asosan ( , ) ( , ) n х у x y → . Demak, ( , ) 0 х у = , ya’ni х у ⊥ bo‘ladi. c) х А ⊥ bo‘lsa, u holda [ ] х L A ⊥ bo‘ladi. d) A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar to‘plamini A ⊥ bilan belgilaymiz. a) xossasiga asosan A ⊥ to‘plam E ning vektor qism fazosi bo‘ladi. b) ga asosan A ⊥ yopiq. Demak, A ⊥ to‘plam normalangan E fazosining qism fazosi ekan. www.ziyouz.com kutubxonasi |
ma'muriyatiga murojaat qiling