Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям

t
f t
f t
P t
e
−λ
=
=
. (4.18) 
 
Нормальный закон распределения 
Непрерывная случайная величина t называется нормально распреде-
ленной, если ее плотность вероятности имеет следующий вид: 
2
ср
2
(
)
2σ
1
( )
σ 2π
t t
f t
e
−
−
=
, (4.19) 
где t
ср
, σ – параметры нормального распределения (математическое ожида-
ние и среднее квадратическое отклонение). 
Параметр t
ср
характеризу-
ет положение распределения на 
оси абсцисс, а параметр σ фор-
му кривой (рис. 4.2). 
Для упрощения вычисле-
ний при решении практических 
задач надежности прибегают к 
центрированию и нормирова-
нию нормального распределе-
ния. 
Под центрированием по-
нимается перенос центра груп-
пирования случайной величины t
ср
в начало координат, тогда t
ср 
= 0, а 
среднее квадратическое отклонение σ = 1. Если ввести новую переменную 
ср
σ
t t
z
−
=
, то такая операция называется нормированием. 
f(t)
t
ср
t
Р
4 2 Н
д
π
σ 2
1
0
Рис. 4.2. Нормальное распределение 
с параметрами t
ср
 и σ 

---

82
В результате центрирования и нормирования получим новое распре-
деление случайной величины z: 
2
0
2
π
2
1
)
(
z
e
z
f
−
=
, (4.20) 
Функция f
0
(z) является однопараметрической и ее значения приведе-
ны в таблицах нормального распределения. При отрицательных значениях 
z функция f(-z) = f(z). После того как найдены значения f
0
(z), необходимо 
перейти обратно к функции f(t): 
ср
0
1
( )
(
)
σ
σ
t t
f t
f
−
=
. (4.21)
Вероятность безотказной работы до возникновения первого отказа 
вычисляется из выражения 
ср
-
( ) 0,5 Ф(
)
σ
t t
Р t
=
−
, (4.22) 
где Ф(z) = 
dz
e
t
z
∫
−
0
2
2
2
1
π
– функция Лапласа, значения которой приведены в 
таблицах математической статистики. Эта функция нечетная, т.е. при
Ф(–z) = – Ф(z). 
Вероятность отказа определяется по формуле 
ср
( ) 0,5 Ф (
)
σ
t t
F t
−
=
+
. (4.23) 
Интенсивность отказов находится по известной формуле: 
λ = f(t)/P(t). 
Гамма-процентный ресурс (гамма-процентный срок службы, гамма-
процентный срок сохраняемости) определяется из уравнения 
ср
γ
0,5 Ф(
).
100
σ
t
t
γ
−
=
−
(4.24) 
Нормальный закон распределения хорошо описывает процессы, на 
которые влияют большое число независимых факторов, каждый из кото-
рых оказывает незначительное воздействие. Ему подчиняются износные 
отказы, ресурсы агрегатов и отдельных деталей, люфты и зазоры в сочле-
нениях, трудоемкости обслуживания и др. 
Логарифмически нормальное распределение 
Непрерывная случайная величина t называется распределенной по 
логарифмически нормальному закону, если логарифм этой величины рас-
пределяется по нормальному закону. Плотность распределения имеет вид: 

---

83
2
0
2
л
( ln
)
2σ
л
1
( )
σ
2π