Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
9.2. Теоремы подобия 
Для правильного понимания и использования данного 
метода необходимо знать основные теоремы теории подобия. 
Первая теорема подобия формулирует свойства подоб-
ных систем, утверждая, что подобные явления имеют одина-
ковые критерии подобия. Критерии подобия можно опреде-
лить различными путями: или из условия тождественности 

---

202 
уравнений, описывающих процессы, или из анализа размер-
ностей, разновидностью которого является метод нулевых 
размерностей. При этом различие состоит лишь в способах 
решения задачи, результат, в конечном счете, один и тот же. 
Вторая теорема подобия предполагает, что функцио-
нальная зависимость между характеризующими процесс ве-
личинами может быть представлена в виде зависимости меж-
ду составленными из них критериями подобия. Применяя 
безразмерные комплексы величин, полученные результаты 
можно распространить на все подобные процессы, умень-
шить число величин, которые следует связать функциональ-
ной зависимостью. 
Пределы закономерного распространения единичного 
опыта указывается в третьей теореме подобия. Достаточ-
ным условием подобия двух систем является равенство лю-
бых двух соответствующих критериев подобия этих систем, 
составленных из их основных параметров и начальных (гра-
ничных) условий. Определяющие критерии составляются из 
независимых между собой величин, которые входят в усло-
вия однозначности (геометрические соотношения, физиче-
ские параметры, краевые условия, начальные и граничные). 
Теория подобия дает общие методические указания, 
как поступить в каждом отдельном случае при анализе 
уравнений, описывающих явление, при постановке и обра-
ботке данных опыта над ними и при распределении резуль-
татов опыта на другие явления. Она показывает, что любая 
функциональная зависимость между физическими парамет-
рами исследуемого объекта может быть представлена в ви-
де зависимости между критериями подобия, составленными 
из физических параметров. При этом критерии подобия 
представляют собой безразмерные параметры, которые ха-
рактеризуют физическое подобие происходящих в исследу-

---

203 
емом объекте процессов, и являются константами для всех 
подобных процессов. 
Однако при решении конкретной задачи необходимо 
констатировать следующее: 
- как правило, известны далеко не все определяющие 
параметры данного явления; 
- даже среди определяющих параметров можно выде-
лить факторы, оказывающие более значимое влияние, и фак-
торы, влияние которых сравнительно невелико; 
- практически невозможно подобрать параметры натуры 
таким образом, чтобы определяющие критерии модели и 
натуры были равнозначны. 
Поэтому при моделировании приходится иногда ис-
пользовать наиболее значимые параметры и исключать из 
рассмотрения менее значимые параметры; пренебрегать 
необходимостью равенства некоторых критериев; пользо-
ваться усредненными значениями переменных величин. В 
этом случае подобие между моделью и построенной на ее ос-
нове натурой является приближенным. Степень приближения 
в каждом конкретном случае различна. 
О возможности погрешности моделирования можно су-
дить по результатам исследования модели, выясняя значение 
различных параметров и критериев подобия для характери-
стики процесса. Дня этой цели можно использовать уравне-
ние процесса. Однако и тогда, когда оценка точности подо-
бия невозможна, ценность методов приближенного модели-
рования не уменьшается; эти методы позволяют определить 
направление поисков и порядок ожидаемого результата. 
В тех случаях, когда известен только набор физических 
параметров, характеризующих процесс, но неизвестны урав-
нения, связывающие их между собой, целесообразно приме-
нять теорию размерностей. При этом выбор номенклатуры 
физических параметров зависит от исследователя, и данный 

---

204 
этап в процедуре построения критериев подобия является 
наиболее ответственным. Для выбора определяющих физиче-
ских параметров можно использовать методы планирования 
экспериментов или экспертные методы. 
Имеется несколько способов получения критериев по-
добия на основе установленной номенклатуры параметров, 
которые характеризуют физическую сущность исследуемого 
процесса. Наиболее эффективным способом, позволяющим 
использовать средства вычислительной техники, является ал-
горитм, разработанный В. А. Вениковым на основе методов 
линейной алгебры. Он включает следующие этапы: 
- составление списка параметров X
1
, Х
2
,..., Х
n
; 
- составление матрицы из показателей степени размер-
ностей параметров; 
- выявление числа k независимых между собой парамет-
ров путем вычисления ранга матрицы; 
- расчет значений показателей степени γ
1
, …. γ
n
; 
- определение выражений критериев подобия во всех 
формах записи. 
Физические процессы, протекающие в технических 
системах и их элементах, обычно настолько сложны, что 
если даже и удается их описать аналитически, то, как пра-
вило, в это описание необходимо вводить эмпирические ко-
эффициенты.
При этом возникает задача идентификации модели, за-
ключающаяся в том, чтобы по результатам эксперимента или 
наблюдений построить математические модели некоторого 
типа, адекватно описывающие поведение исследуемой си-
стемы. Наиболее часто используются методы идентификации 
систем такие как метод наименьших квадратов, метод макси-
мального правдоподобия, метод байесовских оценок, метод 
эвристик, экспертное оценивание и другие. 

---

205 
Поэтому в блоки идентификации исследуемых процес-
сов, помимо описания самих математических моделей, долж-
ны быть заложены алгоритмы вычисления значений коэффи-
циентов уравнения подобия. 
Требования к коэффициентам уравнений подобия мож-
но сформулировать следующим образом: 
1) коэффициенты должны иметь ясный физический 
смысл. Это позволит оценить границы их применения и по 
мере необходимости построить для их определения дополни-
тельные математические модели. 
2) иерархия математических моделей, описывающих 
физические процессы, должна строиться таким образом, что-
бы в пределе стремиться к такому уравнению, коэффициен-
тами которого были бы только физические константы. 
3) в силу того, что математические модели в блоках 
идентификации должны строиться в виде зависимостей меж-
ду критериями подобия, эмпирические коэффициенты, вхо-
дящие в эти зависимости, должны быть безразмерными. 
4) коэффициенты должны быть подобраны таким обра-
зом, чтобы модель охватывала как можно большее число ти-
пов изделий при соблюдении стохастического подобия их 
между собой. 
5) число эмпирических коэффициентов, вводимых в ма-
тематическую модель, должно быть оптимальным. 
6) если математическая модель правильно отражает фи-
зическую сущность процессов, то, увеличивая число коэф-
фициентов, можно существенно повысить адекватность мо-
дели. 
В настоящее время теория подобия получила широкое 
распространение при решении сложных математических за-
дач в различных областях науки и техники. 

---

206