Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

7. Дифференциальные принципы теоретической
механики 
7.1. Примеры несвободных систем 
Рассмотрим пояснение общих определений, данных ра-
нее, на примерах. 
Пример 1. Математический маятник – это материальная 
точка массы m, колеблющаяся по дуге окружности в одно-
родном поле тяжести в вертикальной плоскости . Реализуется 
маятник в виде груза, подвешенного на капроновой нити. 
Положение маятника можно задавать декартовыми коорди-
натами x, yгруза. Эти координаты связаны соотношением 
2
2
2
(7.1) 
где l – длина маятника.
При заданной длине l в качестве координаты, определя-
ющей положение маятника, проще пользованиям углом 
от-
клонение нити от вертикали, отсчитывая этот угол против ча-
совой стрелки. Преимущества использования угла 
:
1) число координат меньше (одна вместо двух);
2) 
– независимая координата, x, y связаны уравнением 
(7.1). 
Уравнение (7.1) представляет собой ограничение, за-
данное заранее, независимое от динамических уравнений 
движения. Подобные ограничения называются связями. 
Связь (7.1) голономная, стационарная, удерживающая. Голо-
номная связь содержит только координаты; стационарная 
связь не содержит явно времени t, удерживающая связь пред-
ставлена уравнением, а не неравенством. 
Кроме силы тяжести на груз действует сила упругости 
нити – реакция связи. Сила тяжести задана заранее, она явля-
ется активной. Реакция связи (пассивная сила) заранее не за-

---

150 
дана, она подлежит определению из уравнений механики; ее 
значение от величины активной силы. 
Рассмотрим виртуальное (возможное) перемещение ма-
ятника. Пусть в фиксированный момент времени t координа-
ты груза равны x, y. Разность координат
и 
в тот же момент t двух бесконечных близких 
положений, совместимых со связями, определяют виртуаль-
ное, или возможное, перемещение маятника. Поскольку оба 
положения 
согласуются со связями, то 
наряду с (7.1) имеет место еще и равенство 
2
2
2
(7.2) 
Вычитая из (7.2) равенство (7.1), получим 
2
2
(7.3) 
Виртуальное перемещение определяется вариациями 
координат 
, которые должны быть согласованы с 
уравнениями связей по определению с точностью до главной 
линейной части приращения включительно. Это означает, 
что мы получим уравнение для вариаций координат, если со-
храним в (7.1) только линейные члены. Следовательно, для 
любого фиксированного момента t вариации координат удо-
влетворяют равенству 
Связь (7.1) является идеальной. Это означает: работа ре-
акции 
⃗⃗⃗ нити на любом виртуальномперемещении равна ну-
лю. Действительно,
⃗⃗⃗ ⋅ ⃗
⃗
⋅ ⃗
. 
Равенство нулю работы можно заключить также из того, 
что вектор реакции 
⃗⃗⃗ перпендикулярен ⃗
Пример 2. Математический маятник, подвешенный к 

---

151 
бруску, который может скользить без трения по горизонталь-
ной плоскости. Система состоит из двух материальных точек 
массой 
1
1
1
2
2
2
. Четыре координаты этих точек 
удовлетворяют двум уравнениям связей: 
1
(7.4) 
2
1
2
2
1
2
2
(7.5) 
Варьируя эти уравнения, находим ограничения на вари-
ации координат 
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(7.6) 
Здесь две независимые вариации координат: 4-2=2. Из 
трех вариаций 
1
2
2 
две можно выбрать произвольно; 
тогда две другие определятся из уравнений (7.6). В итоге 
можно получить бесчисленное множество виртуальных пе-
ремещений системы. Связи голономные, стационарные, 
удерживающие, идеальные.
 
Пример 3. Спортсмен на лыжах скользит по трамплину, 
отрывается от него и летит в воздухе, а затем снова призем-
ляется. Трамплин – связь: голономная, стационарная, не-
удерживающая. Условием отрыва от связи является обраще-
ние в нуль реакции связи. 
Пример 4. Математический маятник находится на плат-
форме, которая движется с заданной постоянной скоростью v. 
В отличие от маятника в примере 2, рассматриваемый 
здесь маятник имеет не две, а одну степень свободы. Урав-
нения связей имеют вид 
1
,
1
, 
2
1
2
2
1
2
2
Варьируя эти уравнения, т.е. дифференцируя при фик-
сированном t находим 
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1

---

152 
Из уравнения 
1
следует, что виртуальное переме-
щение осуществляется при неподвижном бруске. Связи голо-
номные, нестационарные, удерживающие. 
В заключение остановимся на некоторых общих поло-
жениях. 
1. 
Действительные перемещения точек системы про-
исходят во времени под действием заданных сил при нало-
женных связях; эти перемещения согласуются как с действу-
ющими силами, так и со связями. Возможные перемещения 
согласуются только с «замороженными» связями, силы игно-
рируются. 
В случае стационарных связей действительное беско-
нечно малое перемещение системы геометрически совпадает 
с одним из возможных перемещений. 
Возможное перемещение определяется разностями ра-
диус-векторов (или координат) точек системы в положении 
для момента t и бесконечно близкого положения, которое со-
гласуется со связями в момент t. Эти разности радиус-
векторов обозначаются 
⃗
1
⃗
2
⃗
N
, а их проекции на де-
картовы оси 
1
1
1
N
N
N
. Такие величины 
называются изохронными вариациями радиус-векторов, или 
координат.
Найдем в общем виде уравнения, связывающие вариа-
ции координат. Для краткости условимся функцию 
1
1
1
N
N
N
записывать в виде 
; здесь 
под 
понимаются координаты всех точек системы в мо-
мент t. Пусть они удовлетворяют уравнениям голономных 
связей число связей равно l: 
Рассмотрим бесконечно близкое положение системы, 
согласованное со связями в момент t, и пусть 

---

153 
соответствующие координаты точек. Так как эти 
координаты удовлетворяют уравнениям связей в тот же мо-
мент t, то 
. 
Вычитая из последнего уравнения предыдущие и сохра-
няя, как того требует определение понятия виртуальных пе-
ремещений, главную линейную часть разности, получим 
∑
k
k
k
. 
Здесь множители 
k,
k
k – некото-
рые постоянные, так как уравнения относятся к определенно-
му моменту t и соответствующему положению системы. Си-
стема l однородных линейных уравнений представляет собой 
систему ограничений на изохронные вариации координат. 
2.