Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

нормальными модами. Нормальные моды представляют со-
бой действительную часть комплекснозначной векторной 
функции
(
) [(
) ]
где H
1
, H
2
− собственные векторы, ω − действительная часто-
та. Значения нормальных частот ω
1, 2
определяются из реше-
ния характеристического уравнения
det(K
M)=0. 
Выведем общие формулы для циклических частот ω
1, 2
в случае произвольных масс m
1
, m
2
и длин l
1
, l
2
: 
|
| , 

|
|=0, 

(
) (
)



( 
)
+ 

( 
)
+ 
= 0. 
Мы получили биквадратное уравнение для частот ω. 
Вычислим дискриминант:
D=m
2
(l
1
+l
2
)
2
g
2
4m
1
mg
2
l
1
l
2
=g
2
m[m(l
1
+l
2
)
2
4m
1
l
1
l
2
]. 
Таким образом, квадраты нормальных частот ω
1, 2
равны
√
или

---

234 
,
√
-
Данное выражение является несколько громоздким. По-
этому далее рассмотрим случай, когда длины стержней обоих 
маятников равны: l
1
= l
2
= l. Тогда нормальные частоты будут 
определяться более компактной формулой
[2lm 
√
= 
√
= 
=
√ , где
. 
Как видно, собственные частоты ω
1, 2
зависят лишь от 
отношения масс μ = m
2
/m
1
. Зависимости частот ω
1
, ω
2
от па-
раметра μ (при условии 
/l = 1) показаны выше на рисунке 3. 
В частности, при равных массах m
1
= m
2
= m, т.е. при μ = 1, 
собственные частоты равны
√
√ √
Общее решение системы дифференциальных уравне-
ний (1) записывается в виде
(
) = Re[(
)exp(i )]= 
=
( 
√
)
(
√
), 
где постоянные C
1
, C
2
, φ
1
, φ
2
зависят от начальных положе-
ний и скоростей маятников.
Рассмотрим характер малых колебаний для некоторого 
конкретного набора начальных данных. Пусть, например, ко-
ординаты и скорости маятников в начальный момент имеют 
такие значения:
𝜋
̇
̇

---

235 
В этом случае начальные фазы равны нулю: φ
1
= φ
2
= 0. 
Определим постоянные C
1
и C
2
:
{
√
√

C
1 
= - C
2
, 

2C
2
√
,

C 
2 
√
,

C
1
√
. 
Тогда закон колебаний маятников выражается форму-
лами
√
√
,
, 
где циклические частоты ω
1,
ω
2
определяются соотношением
√
√ √ ,
√
√ √ . 
Здесь углы α
1
(t), α
2
(t) выражаются в радианах, а время t 
в секундах. На рисунках 4-6 приведены графики малых коле-
баний маятников для трех значений μ: μ
1
= 0.2, μ
2
= 1, μ
3
= 5, 
при l = l
1
= l
2
= 0.25 м, g = 9.8 м/c
2
.
Углы отклонения маятников для удобства приведены в 
градусах. Из графиков видно, что в системе происходят бие-
ния, при которых энергия циклически переходит от одного 
маятника к другому. Когда один маятник почти останавлива-
ется, другой раскачивается с максимальной амплитудой. Че-
рез некоторое время маятники "меняются ролями" и так да-
лее. Колебания с большей частотой ω
1
модулируются более 
низкочастотными колебаниями с частотой ω
2
. Это особенно 
хорошо заметно на рисунке 6 при большом значении
μ (μ
3
= 5), когда разница между частотами ω
1
и ω
2
велика.

---

236 
Рис. 4. Зависимость углов α
1
, α
2 
от времени t при
μ
1
= 0.2 
 
Рис. 5. Зависимость углов α
1
, α
2 
от времени t при
μ
2
= 1 
Рис. 6. Зависимость углов α
1
, α
2 
от времени t при
μ = 5 
Итак, малые колебания двойного маятника имеют пери-
одический характер и описываются суммой двух гармоник с 
частотами ω
1
, ω
2
, зависящими от параметров системы. Ха-
рактерным свойством малых колебаний двойного маятника 
является эффект биений.
Наиболее распространенным методом численного ре-
шения дифференциальных уравнений является метод Рунге-
Кутты. Различные вариации этого метода используются в 
большинстве математических пакетов (MatLab, Maple, 
Mathematica, Mathcad), как правило, с автоматическим кон-
тролем точности и адаптивным временным шагом.
Для численного моделирования движения двойного ма-
ятника воспользуемся вычислительными средствами универ-
сальной компьютерной системы «Mathematica». Предвари-
тельно несколько упростим дифференциальные уравнения 

---

237 
(11.31), полагая, что длины маятников одинаковы: l
1
= l
2
= l. 
Введем также параметр μ, равный отношению массы второго 
маятника к массе первого: μ = m
2
/m
1
. Тогда система уравне-
ний (11.31) принимает следующий вид:
{
̈
̈
̇
̈
̈
̇
с начальными условиями: 
, 
̇
1
(0) = 
̇
2
(0) = 
0 и где введено обозначение
. 
Описанная модель реализована для различных значений 
параметров α
0 
и μ в виде анимации, фрагменты которой при-
веденной ниже. Для упрощения начальные углы отклонения 
маятников приняты равными: α
1
= α
2
= α
0
. Данное приложе-
ние наглядно демонстрирует хаотическую динамику двойно-
го маятника при различных значениях параметров μ и 
. 
Интересно, что в некоторых режимах в системе возникают 
устойчивые траектории, как, например, на рисунке 7, или 
компактные области притяжения, как на рисунке 8. 
Рис. 7. Устойчивые траектории 
двойного маятника
при μ = 2.75, α = 161° 
 
Рис. 8. Компактные области 
притяжения траекторий
двойного маятника
при μ = 1.28, α = 158° 

---

238