Учебное пособие ставрополь 2014 ббк печатается по решению Редакционно-издательского совета сф мггу им. М. А. Шолохова

Задачи на нахождение суммы и остатка
Работа над этими видами задач начинается с первых же уроков математики и вначале носит характер практических упражнений, в ходе которых дети, имея дело с реальными предметами окружающей действительности, выполняют соответствующие операции над множествами: объединяют данные множества или удаляют часть данного множества. От практических действий с предметами дети постепенно переходят к рассмотрению операций над множествами предметов, изображенных на рисунке. Такого рода задания широко представлены в учебнике математики для 1 класса.
При решении задач по представлению полезно перейти к зарисовке условий задач в тетрадях. При этом рисование предметов, о которых говорится в задаче (флажки, яблоки, огурцы и т, п.), выступает в качестве средства, помогающего детям воспроизвести содержание задачи, представить образно это содержание. Например, решая задачу: “Сережа нарисовал 4 флажка, а потом еще 1 флажок. Сколько всего флажков нарисовал Сережа?”, ученики могут нарисовать сначала 4 флажка и чуть поодаль еще 1 флажок, а затем подсчитать число флажков и записать решение (или показать ответ с помощью сигнальной карточки),
Как показывает опыт, уже на этапе изучения чисел первого десятка можно при решении задач рассматриваемых видов использовать и более отвлеченную, условную наглядность. Например, вместо 5 яблок, о которых говорится в задаче, ученик нарисует 5 кружков, 3 книги изобразит 3 квадратами и т. п.
Покажем, как нами проводилась работа по выполнению таких условных рисунков при решении первых арифметических задач—задач на нахождение суммы.

Рассмотрим задачу: “У Коли 5 книг, у Саши 4 книги. Сколько книг у Коли и Саши вместе?”

Ученики анализируют задачу (т.е. выясняют, что известно и что неизвестно) , выполняя одновременно с анализом соответствующие зарисовки: “О чем говорится в задаче? (О том, что у Коли и Саши были книги.) Что известно про книги, которые были у Коли? (У Коли было 5 книг.) Обведите столько клеток, сколько книг было у Коли, и закрасьте их. (Ученики обводят в тетрадях 5 клеток и закрашивают их.) Что известно про книги, которые были у Саши? (У Саши было 2 книги.)
Обведите столько клеток, сколько книг было у Саши, (Ученики на той же строке обводят еще 2 клетки.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько книг было у Коли и Саши вместе?) Обозначьте это. (Ученики рисуют объединяющую скобку и ставят под ней знак вопроса).
В выполненной иллюстрации важную роль играет условный знак — объединяющая скобка (на первых порах дуга или прямая черточка), указывающая на необходимость объединения элементов двух данных множеств.
Благодаря схематичности изображения количественные отношения выступают здесь с большей отчетливостью, что позволяет сосредоточить на них внимание детей и найти решение: 5+2=7.
Для проверки понимания выполненного рисунка полезно ставить контрольные вопросы вида: “Что изображают 5 раскрашенных клеток? (Число книг, которые были у Коли.) Что изображают 2 не раскрашенные клетки? (Число книг, которые были у Саши.) На что указывает объединяющая скобка (прямая черта, дуга)? (Нужно узнать, сколько всего книг у Коли и Саши, сколько всего клеток обведено.) ”
Подобные контрольные вопросы — важное звено в работе учеников по овладению приемами графического изображения задачи.
Необходимо, чтобы такие вопросы задавал не только учитель ученикам, но и сами ученики друг другу. Умение сформулировать контрольные вопросы характеризует уровень понимания детьми сути дела.
Рассмотрим теперь задачу на нахождение остатка: “У Мити было 7 шаров. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров осталось у Мити?”
Иллюстрация выполняется одновременно с анализом задачи, так как только в этом случае она будет действенным средством, оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоятельному решению задач: “Что известно про шары, которые были у Мити? (У Мити было 7 шаров.) Нарисуйте столько кружков, сколько шаров было у Мити. (Ученики самостоятельно выполняют задание.) Что еще известно в задаче? (Подул ветер, и 2 шара улетели.) Перечеркните столько кружков, сколько шаров улетело. (Ученики выполняют задание.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько шаров осталось у Мити.); обозначьте скобкой, о каких шарах спрашивается в задаче”.
Учитель показывает, как, пользуясь выполненным рисунком, подсчитать ответ и записать решение: 7—2=5.
При изучении нумерации чисел первого десятка основной способ нахождения результата — счет предметов. Поэтому при обучении решению задач на нахождение суммы и остатка выполнение рисунка по задаче (предметного или условного) — необходимое условие их решения. Уже после сообщения учителем тек” ста задачи подобные рисунки могут выполняться детьми самостоятельно. Эти рисунки могут выступать и как средство проверки самостоятельного решения задачи.
Отметим, что при самостоятельном выполнении рисунка по задаче следует рекомендовать ученикам все время контролировать себя, сопоставляя рисунок с тем, о чем говорится в задаче, и при надобности вносить нужные поправки.
После того как ученики научатся решать задачи на нахождение суммы и остатка, опираясь на знание соответствующих случаев сложения и вычитания, графическое изображение таких задач может выступать и как эффективное средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом. Покажем это на примере такой задачи: “На одной тарелке 3 яблока, а на другой — 2. Сколько всего яблок на двух тарелках?” После арифметического решения задачи ученикам предлагается сделать рисунок по задаче: “Нарисуйте на одной строке столько кружков, сколько яблок на одной тарелке; нарисуйте чуть подальше на этой. же строке столько кружков, сколько яблок на второй тарелке. Сосчитайте, сколько всего кружков вы нарисовали. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получилось?”
Известно, что ученики нередко ассоциируют сложение со словами “принесли”, “прилетели”, “купили” и т.п., а вычитание— со словами “унесли”, “убежали”, “улетели”, “потеряли” и т. п. и руководствуются этими словами при выборе действия для решения задачи, что зачастую приводит к ошибкам. Для преодоления этого нежелательного явления в тексты задач вносится известное разнообразие, которое должно способствовать предупреждению шаблонного подхода при выборе действия. Так, ученикам предлагаются задачи, в которых фигурируют слова “убежали”, “вынули”, “улетели” и т.п., но которые решаются действием сложения. Например, в методической литературе рекомендуется предлагать для сравнения пары таких задач:
1) В коробке было 4 карандаша. Мальчик положил в нее еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало в коробке?
2) Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 карандаша. Сколько всего карандашей вынули из коробки?
Во второй задаче выбор действия затруднен тем, что описанные в задаче жизненные действия (“вынули”, “еще вынули”) в сознании детей связываются с действием вычитания. Здесь требуется большое внимание к анализу текста задачи. Выполняя одновременно с анализом задачи ее зарисовку (вместо карандашей можно рисовать палочки), дети убеждаются, что как для первой, так и для второй задачи получаем одно и то же графическое изображение. Это помогает им понять, что обе задачи имеют одну и ту же математическую сущность, решаются одним и тем же действием — сложением.
Опыт показывает, что затруднения в выборе действия возникают при решении задач такого вида: “Когда сожгли 6 поленьев, то осталось еще 3 полена. Сколько всего было поленьев?” Трудность решения вызывается тем, что определение числа предметов, часть из которых уже уничтожена, реже встречается в опыте ребенка, чем подсчет существующих предметов. Преодолеть эти трудности тоже поможет рисунок.
Разбирая задачу, учитель предлагает детям нарисовать столько палочек, сколько поленьев было сожжено (6 палочек). Эти палочки перечеркиваются, чтобы показать, что поленья сожгли. Затем дети рисуют столько палочек, сколько осталось поленьев (3 палочки). Обратив внимание детей на то, что в задаче спрашивается, сколько всего было поленьев, учитель просит показать на рисунке все те поленья, которые были сначала (дети показывают все нарисованные палочки). После этого на рисунке с помощью объединяющей скобки и знака вопроса обозначается, что же нужно узнать. С опорой на такой рисунок задача решается легко.
Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц
Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц вводятся сразу же после задач на нахождение суммы и остатка. Подготовка к рассмотрению простейших задач этого вида ведется задолго до их введения. Она заключается в установлении соотношений: если прибавить к данной группе предметов один или несколько предметов, то это приводит к увеличению первоначального числа предметов, а если же вычесть — то к уменьшению. Соотношения эти устанавливаются с помощью различного наглядного материала. Оперируя дидактическим материалом, дети выполняют практические упражнения вида: “Положите 3 квадрата, придвиньте к ним еще 1 квадрат. Сколько стало квадратов? (4) Как узнали? (К 3 прибавили 1, получили 4.) Больше или меньше стало квадратов? (Больше: прибавили 1, стало больше на 1.)” Затем можно перейти к работе с сюжетными картинками (и, в частности, с рисунками, представленными в учебнике математики для 1 класса). С помощью картинок разбираются те же вопросы, что и при использовании дидактического материала. На этом же этапе обучения, при решении готовых задач, целесообразно переходить к использованию условных рисунков.
Покажем, как может быть проведена соответствующая работа на примере такой задачи: “В автобусе было 7 пассажиров. После остановки число пассажиров увеличилось на 2. Сколько пассажиров стало в автобусе после остановки?”
Рисунок выполняется по ходу разбора задачи: “Сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (Было 7 пассажиров.) Зарисуем задачу. Вместо каждого пассажира будем рисовать кружок. Сколько кружков надо нарисовать, чтобы показать, сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (7 кружков.) Рисуйте. (Дети рисуют 7 кружков.) Что сказано в задаче о числе пассажиров в автобусе после остановки? (После остановки число пассажиров увеличилось на 2.) Как это понять: больше стало пассажиров после остановки или меньше? (Пассажиров стало больше.) На сколько больше стало пассажиров? (На 2.) Сколько же кружков еще надо нарисовать, чтобы показать, сколько стало в автобусе пассажиров после остановки? (Надо нарисовать еще 2 кружка.) Нарисуйте их и покажите на своем рисунке, что же нужно узнать”. Дети рисуют еще 2 кружка, скобку, объединяющую все нарисованные кружки, и ставят под ней вопросительный знак. Решение задачи по рисунку дети выполняют самостоятельно.
Так же может быть проведена иллюстрация и в том случае, когда рассматривается задача на уменьшение данного числа на несколько единиц. В этом случае придется только воспользоваться приемом перечеркивания соответствующего числа принятых условных изображений.
С первых же дней обучения начиналась подготовительная работа к введению более трудных задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых сравниваются два множества предметов. В ходе практических упражнений дети учились устанавливать взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств предметов, выяснили, в каком из двух сравниваемых множеств больше предметов, а в каком — меньше и т.п.
Перед введением задач рассматриваемого вида приобретенные детьми ранее знания надо оживить путем выполнения ряда заданий с опорой на те же средства наглядности, которые были и раньше.
Начав с использования дидактического материала, можно сразу же перейти к работе с картинками, с помощью которых дети сравнивают два множества предметов. Составление задач по картинкам в данном случае отличается известным своеобразием. Вот что пишет по этому поводу М.И.Моро: “Действительно, попробуем дать иллюстрацию, составленную с использованием полной предметной наглядности. Например, на рисунке изображены 2 пучка морковки, в одном — 6 морковок, а в другом — 4. Для того чтобы составить по такой картинке задачу на увеличение (или уменьшение) на несколько единиц, ученику пришлось бы выяснить, на сколько морковок в одном пучке больше, чем в другом, но решать задачи на разностное сравнение он еще не умеет. Поэтому при схематической записи условий задач этого вида разностное отношение между искомым и данным должно быть дано в своем числовом выражении, а не наглядно. Вместе с тем для решения подобных задач очень важно иметь ясное представление о том, что значит “больше”, “дороже”, “шире” и т.п.
В связи с этим особенно большое значение приобретает здесь не составление задачи по картинке, а зарисовка условия готовой задачи”.
Для иллюстрации эффективности зарисовки условий задачи с целью выяснения смысла увеличения и уменьшения на несколько единиц используем пример из опыта учительницы М. А. Бобрищевой. Ее опыт А.С.Пчелко описывает так:
“Учимся мы увеличивать и уменьшать число на несколько единиц. Решаем задачу-картинку про грибы. Задаю вопрос: “Сколько белых грибов нашли Ваня с Машей?” Быстро поднимаются руки, спрашивают: “Сколько нашел Ваня? Сколько нашла Маша?”
Даю одинаковое количество: Ваня — 4 и Маша — 4. “Ой, поровну! Ой, одинаково!” — слышишь заключение, а это и была намеченная цель.
Дома рисуют задачи - картинки “поровну”, а завтра друг другу картинки показывают, задачи задают.
От задач “поровну” легкий переход к задачам “больше на столько-то” и “меньше на столько-то”.
Каждому ученику даю лист бумаги, разделенный вертикально пополам: “Одна половина будет твоя. Другая, придумай сам, чья она будет? На одной половине нарисуй 3 (чего угодно), а на другой — на 2 больше”.
Договариваемся, кто что будет рисовать (карандаши, вишни, флажки и т.д.).
Рисуют разное, а задание одно: “3 и на 2 больше”. Тут ли не радость, когда видишь, что рисуют почти все правильно: сначала поровну на обеих половинках, а потом ... потом после ценнейшего раздумья решают: “А теперь еще 2, лишних 2, больше на 2!”
Н рядом или чуть поодаль рисуют еще 2 лишних. На последующих уроках делаем естественный вывод: если у Маши карандашей на 2 больше, чем у Вовы, то значит, у Вовы на 2 меньше, чем у Маши. Я выше тебя, значит, ты ниже меня. И т.д.
Объясняя “меньше на столько-то”, даю всем задание рисовать елочки: “7 и на 3 меньше”.
Опять нарисовали сначала поровну, а потом задумались. Некоторые к одной семерке пририсовали еще 3 елочки, и у них стало 10. “Тут на 3 больше, а здесь на 3 меньше”,—объясняют они. Но такое действие не отвечает заданию: надо “7 и на 3 меньше”, а не “10 и на 3 меньше”. “Вы, ребята, сделали правильно, когда нарисовали 7 и 7. А отчего бы могло стать здесь елочек на 3 меньше?” — Сломало ветром! — Спилили на дрова! — Засохли! Н т. д.
“Ну, так продолжайте работу дальше... Значит, трех уже нет, а у вас все стоят”. И... догадались многие: закрыли 3 рукой! Первого сообразившего мы позвали к доске. Он нарисовал елочки по 7 штук на двух сторонах. Потом закрыл 3, и перед глазами предстало всем 7 елочек и на 3 меньше. Действие ответило заданию: от 7 отнять 3. Мы сейчас же перевели это действие на язык арифметической записи:
7-3=4.
Ценю я этот метод за то, что ученик работал и запомнил головой то, что ясно, отчетливо слышали уши, запомнил руками, когда рисовал; запомнил глазами, когда ими проверял”.
От простейших предметных рисунков легко осуществить переход к рисункам условным. Покажем это на примере такой задачи: “На одной полке 6 книг, а на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?” Рисунок, как и обычно, возникает по ходу анализа задачи. “Пусть клетка изображает книгу. Как изобразить в этом случае, что на первой полке 6 книг? (В виде 6 клеток.)” Обращаясь к тексту задачи, выясняем, что на второй полке книг столько же (обводятся ниже, через строчку, 6 клеток) да еще 3 (обводятся на второй строчке еще 3 клетки). Задача фактически решена графически, поскольку выполненный условный рисунок отображает число предметов, содержащихся в сравниваемых множествах. При этом возникает опасность, что ответ на вопрос задачи будет найден простым пересчетом числа клеток, изображенных на второй строке. Поэтому при решении следующих задач нужно переходить к использованию частичной наглядности, находить результат путем вычисления и лишь затем иллюстрировать его на рисунке. Выполняя последнее задание, ученики обводят на первой строке 6 клеток, а затем рассуждают так: “На второй строке надо обвести столько клеток, сколько на первой и еще 3. К 6 прибавить 3, получится 9. На второй строке надо обвести 9 клеток”.
Дальнейшая работа состоит в том, чтобы научить детей изображать условия таких задач (а в дальнейшем и задач других видов) в “отрезках”.
Предпосылкой иллюстрации текстовых задач с помощью “отрезков” служит решение представленных в учебнике математики для 1 класса задач геометрического содержания. Так, вначале дети учатся чертить отрезки заданной длины по линейке, затем выполняют задания на увеличение или уменьшение данного отрезка и, наконец, решают с помощью чертежа задачи на сравнение отрезков.
Методика соответствующей работы хорошо описана в современных методических руководствах и в методических указаниях к учебнику. Нам же важно показать, как применяются соответствующие умения при изображении “в отрезках” условий текстовых сюжетных задач. Первый вопрос, который возникает в этой связи: на примере каких задач рассматриваемого вида лучше начать знакомство с изображением их условий “в отрезках”? Как известно, вначале решаются такие задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых фигурируют термины “больше”, “меньше”, и только после этого переходят к решению задач, в которых увеличение или уменьшение на несколько единиц выражается терминами “длиннее”, “короче”, “выше”, “ниже” и т. п. Эти задачи более всего подходят для обучения детей построению графических иллюстраций “в отрезках”.
Рассмотрим задачу: “Высота яблони 6 м. Береза выше яблони на 3 м. Найти высоту березы”. Работу над задачей можно начать с сопоставления картинки и схематического чертежа, причем целесообразно использовать такую иллюстрацию, которая создает возможность проследить выражение одних и тех же соотношений в двух различных планах: конкретно-предметном (рисунки яблони и березы) и обобщенно-абстрактном (высота яблони и березы изображены с помощью отрезков).
Рассуждения при переходе от использования более конкретной наглядности к менее конкретной могут быть примерно такими: “Рядом с яблоней изображен отрезок. Этот отрезок условно приняли за высоту яблони и рядом написали, что он изображает 6 м. Известна ли высота березы? (Нет.) А что известно? Береза на 3м выше яблони.) Как вы это понимаете? (Береза такой же высоты, что и яблоня, да еще 3 м.) Правильно. Поэтому рядом с березой сначала начертили отрезок, который соответствует высоте яблони, а затем продолжили его на такой отрезок, который условно соответствует 3 м”.
Знакомство с иллюстрацией условий задач с помощью схематических чертежей можно продолжить на задачах, условия которых связаны с мерами длины. Например: “У Кости было 2 куска проволоки: первый длиной 5 м, а второй на 2 м короче. Какой длины был второй кусок проволоки?”
Рассуждения при построении схематического чертежа: “С помощью произвольного отрезка изобразим длину первого куска проволоки и надпишем над ним, что он равен 5 м. Так как второй кусок проволоки короче первого на 2м, то ниже, под первым отрезком (через строчку) начертим сначала отрезок, равный ему (начала отрезков должны находиться на одном уровне), а затем от правого его конца отложим влево отрезок, условно изображающий 2 м. Надпишем над этой частью второго отрезка, что она изображает 2 м, а над остальной частью поставим знак “?”, так как она иллюстрирует искомое”.
Обучение детей изображению условий текстовых задач в отрезках с помощью чертежа, выполненного в заданном масштабе, начинается во II классе.
Рассмотрим задачу: “У папы было 2 электрошнура: один длиной 6 м, а второй на 3 м длиннее. Какой длины второй шнур?”
Для построения чертежа примем длину одной клетки ученической тетради за 1 м, тогда электрошнур длиной 6 м изобразится отрезком длиной 6 клеток тетради. Длине второго электрошнура, очевидно, будет соответствовать отрезок длиной 6 клеток, увеличенный на отрезок длиной 3 клетки.
В том случае, если данные задачи не связаны с мерами длины, построение чертежа осуществляется аналогичным образом. Например: “С первого огорода накопали 8 мешков картофеля, а со второго на 2 мешка меньше. Сколько накопали мешков картофеля со второго огорода?” Договоримся, что один мешок картофеля будем изображать отрезком, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить при помощи отрезка 8 мешков картофеля, надо начертить отрезок, равный по длине восьми клеткам тетради. Так как с другого огорода накопали на 2 мешка меньше, то под первым отрезком (через строчку) чертим второй отрезок, равный первому, и отделяем на нем часть, равную двум клеткам. Напишем над этой частью “2 меш.”, а над остальной частью поставим “?”, так она иллюстрирует искомое.
Следует отметить, что на отрезке, изображающем неизвестное (условно), лучше не делать отметок, отделяющих единичные отрезки.
В том случае, если подобные задачи содержат большие числовые данные (с такими числовыми данными ученики впервые встречаются при изучении темы “Сотня”), предпочтение следует отдавать схематическим чертежам, не связанным с определенным масштабом.
С большими трудностями дети сталкиваются при встрече с задачами на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, выраженными в косвенной форме. При обучении решению подобных задач важно научить детей устанавливать в какой из совокупностей, о которых идет речь в задаче, больше предметов, а в какой — меньше, какое число нужно узнать: большее или меньшее. Разобраться в этих вопросах поможет использование наглядного материала. Отвечая на вопросы о том, в kаком порядке и как использовать различные виды наглядности при введении таких задач, М.И.Моро и А.М.Пышкало пишут; “Сначала это могут быть демонстрации, связанные с использованием дидактического материала того вида, которые приводились при сравнении двух множеств предметов с первых уроков математики, затем — рисунок, чертеж, краткая запись”.
Далее, авторы на примере задачи: “На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?” — показывают, как выполнять рисунок, а в дальнейшем и графическую схему в отрезках. Приведем соответствующие выдержки из цитируемой книги.
“По ходу разбора задачи будем выполнять рисунок так: нарисуем в ряд 8 чашек, а затем ниже, под каждой чашкой по 1 стакану. Получим, что стаканов столько же, сколько чашек. Но в задаче сказано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего должно быть 8 чашек (как и изображено на рисунке). Значит, их трогать нельзя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стаканов, нужно “убрать” 3 стакана (на рисунке можно перечеркнуть 3 изображения стаканов). Такая иллюстрация помогает оживить в сознании детей уже известные им соотношения: а) если в одном из сравниваемых множеств на сколько предметов больше, то в другом — их на столько же меньше, т. е. если чашек на 3 больше, значит, стаканов на 3 меньше; б) чтобы стаканов стало на 3 меньше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько и чашек, без 3. Отсюда уже естественно вытекает и запись решения:
8—3=5.
Построение схематического чертежа к этой же задаче комментируется так: “изобразим с помощью произвольного отрезка число чашек, напишем над ним, что он изображает “8 ч.”, начертим ниже равный ему отрезок, который должен условно изображать столько же стаканов. Обращаясь к тексту задачи, вспоминаем, что 8 чашек — это на 3 больше, чем стаканов. Значит, верхний отрезок должен быть больше, а нижний, изображающий число стаканов, — меньше. Отделяем на нижнем отрезке часть его, иллюстрирующую “лишние” 3 стакана, и надписываем над ней “3 шт.”. Над остальной частью отрезка можно поставить знак “?”, так как она иллюстрирует искомое”.
Описанное выше использование рисунков, схематических чертежей и чертежей при решении задач на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (выраженных как в прямой, так и косвенной форме) помогает наглядному представлению данных и искомого, связей и зависимостей между соответствующими величинами и тем самым облегчает выбор нужного действия.