Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

11. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ B-СПЛАЙНАМИ

Чуть более сложный тип интерполяции – так называемая полиномиальная сплайн-интерполяция, или интерполяция B-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных B-сплайнов производится не в точках (t_i, х_i), а в других точках, координаты которых обычно предлагается определить пользователю. Таким образом, требование равномерного следования узлов при интерполяции B-сплайнами отсутствует и ими можно приближать разрозненные данные.

Р
ис. 4. Интерполяция B-сплайнами

Сплайны могут быть полиномами первой, второй или третьей степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция B-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна.

NURBS

Вышерассмотренные методы достаточно просто обобщаются на случай аппроксимации двумерных обводов. Для конструирования криволинейных поверхностей с помощью стандартных параметрических полиномов, полиномов Бернштейна и NURBS в современных системах геометрического моделирования применяют три основных метода:

- тензорного произведения (tensor product surfaces);

- каркасный (lofting surfaces);
- булевой суммы (transfinite method).

При этом рациональные параметрические кривые Безье являются частным случаем NURBS.

Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов – NURBS- технологию (Non-Uniform, Rational B-Spline) – неравномерный рациональный B-сплайн. Базовая геометрическая фигура (геометрический примитив) используется для описания кривых поверхностей.
На сегодняшний день существует множество способов описания геометрических объектов. Однако с точки зрения соотношения возможностей и затрат вычислительных ресурсов самым мощным инструментом является так называемое NURBS (Non-Uniform Rational, B-Splines) моделирование. В основе метода NURBS лежит описание объектов с помощью так называемых рациональных полиномиальных функций. Этот подход дает максимальную экономию вычислительных ресурсов и абсолютную гибкость в создании объектов произвольной формы.
Модели NURBS создаются из нескольких кривых. При этом для настройки искривления достаточно изменить собственный вес вершин и определить сплайны. Поверхности, построенные на основе NURBS-кривых, называют NURBS-объектами. Они выглядят плавными и сглаженными, легко поддаются редактированию. Просчет таких моделей является более ускоренным, чем традиционных полигональных сетей.