Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

2. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ

Важное значение при формировании как 2D, так и 3D моделей имеет построение элементарных кривых. Кривые строятся в основном следующими способами:

• 
  той или иной интерполяцией по точкам;
  
• 
  вычислением конических сечений;
  
• 
  расчетом пересечения поверхностей;
  
• 
  выполнением преобразования некоторой кривой;
  
• 
  формированием замкнутых или разомкнутых контуров из отдельных сегментов, например отрезков прямых, дуг конических сечений или произвольных кривых.
  

В качестве последних обычно используются параметрические кубические кривые, так как это наименьшая степень, при которой обеспечиваются:

• 
  непрерывность значения первой (второй) производной в точках сшивки сегментов кривых;
  
• 
  возможность задания неплоских кривых.
  

Параметрическое представление кривых выбирается по целому ряду причин, в том числе потому, что зачастую объекты могут иметь вертикальные касательные. При этом аппроксимация кривой y = f(x) аналитическими функциями была бы невозможной. Кроме того, кривые, которые надо представлять, могут быть неплоскими и незамкнутыми. Наконец, параметрическое представление обеспечивает независимость представления от выбора системы координат и соответствует процессу их отображения на устройствах: позиция естественным образом определяется как две функции времени x(t) и y(t).
В общем виде параметрические кубические кривые можно представить в форме:

x(t) = A11 t^3 + A12 t^2 + A13 t + A14; y(t) = A21 t^3 + A22 t^2 + A23 t + A24; z(t) = A31 t^3 + A32 t^2 + A33 t + A34,

где параметр t можно считать изменяющимся в диапазоне от 0 до 1, так как интересуют конечные отрезки.
Существует много методов описания параметрических кубических кривых. К наиболее применяемым относятся:

• 
  метод Безье, широко используемый в интерактивных приложениях; в нем задаются положения конечных точек кривой, а значения первой производной задаются неявно с помощью двух других точек, обычно не лежащих на кривой;
  
• 
  метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой и на концах сегментов обеспечивается непрерывность первой и второй производных.
  

В форме Безье кривая в общем случае задается в виде полинома Бернштейна

P(t) = ,

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой; t - параметр;

Cmi = m! i! (m-i)! .

При этом крайние точки управляющей ломаной и кривой совпадают, а наклоны первого и последнего звеньев ломаной совпадают с наклоном кривой в соответствующих точках.
Предложены различные быстрые схемы для вычисления кривой Безье.
В более общей форме B-сплайнов кривая в общем случае задается соотношением

P(t)= ,

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой; t - параметр; N_im - весовые функции, определяемые рекуррентным соотношением:

Ni,k(t) = (t - xi) Ni,k-1(t) xi+k-1 - xi + (xi+k - t) Ni+1,k-1(t) xi+k - xi+1 .

Используются и многие другие методы, например метод Эрмита, при котором задаются положения конечных точек кривой и значения первой производной в них.
Общее в упомянутых подходах состоит в том, что искомая кривая строится с использованием набора управляющих точек.
3. ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Основные способы построения поверхностей:

• 
  интерполяцией по точкам;
  
• 
  перемещением образующей кривой по заданной траектории (кинематический метод);
  
• 
  деформацией исходной поверхности;
  
• 
  построением поверхности эквидистантной к исходной;
  
• 
  кинематический принцип;
  
• 
  операции добавления/удаления в структуре;
  
• 
  теоретико-множественные (булевские) операции.
  

Широко используются бикубические параметрические куски, с помощью которых сложная криволинейная поверхность аппроксимируется набором отдельных кусков с обеспечением непрерывности значения функции и первой (второй) производной при переходе от одного куска к другому. В общем случае представление бикубического параметрического куска имеет вид (приведена формула для x-координаты, для других координат формула аналогична):

x(s,t) = A11 s^3 t^3 + A12 s^3 t^2 + A13 s^3 t + A14 s^3 + A21 s^2 t^3 + A22 s^2 t^2 + A23 s^2 t + A24 s^2 + A31 s t^3 + A32 s t^2 + A33 s t + A34 s + A41 t^3 + A42 t^2 + A43 t + A44.

Аналогично случаю с параметрическими кубическими кривыми наиболее применимыми являются:

• 
  форма Безье;
  
• 
  форма В-сплайнов;
  
• 
  форма Эрмита.
  

4. ТИПЫ МОДЕЛЕЙ

Как уже отмечалось, можно выделить два основных типа представлений 3D моделей:

• 
  граничное, когда в модели хранятся границы объекта, например, вершины, ребра, грани;
  
• 
  в виде дерева построения, когда хранятся базовые объекты (призма, пирамида, цилиндр, конус и т.п.), из которых формировалось тело и использованные при этом операции; в узле дерева сохраняется операция формирования, а ветви представляют объекты.
  

Предельным случаем граничной модели является модель, использующая перечисление всех точек занимаемого ею пространства. В частности, тело может быть аппроксимировано набором "склеенных" друг с другом параллелепипедов, что может быть удобно для некоторых вычислений (веса, объемы, расчеты методом конечных элементов и т.д.).
Часто используются гибридные модели, в которых в различной мере смешиваются эти два основных типа представления. В частности, в граничной модели может сохраняться информация о способе построения, например, информация о контуре и траектории его перемещения для формирования заданной поверхности (это т.н. кинематические модели). В моделях в виде дерева построения в качестве элементарных могут использоваться не только базовые объекты, но также и сплошные тела, заданные с помощью границ.
В общем случае нельзя утверждать, что одна модель во всем лучше другой. Так, например, граничная модель удобна для выполнения операций визуализации (удаление невидимых частей, закраска и т.п.), с другой стороны, модель в виде дерева построения естественным образом может обеспечить параметризацию объекта, т.е. модификацию объекта изменением тех или иных отдельных параметров, вплоть до убирания каких-либо составных частей, но не удобна для визуализации, так как требует перевычисления объекта по дереву построения. Поэтому необходимы средства взаимного преобразования моделей. Понятно, что из более общей можно сформировать более простую, обратное преобразование далеко не всегда возможно или целесообразно, что и иллюстрируется сплошными и штриховыми линиями на рис.4.1.



Рис.4.1. Преобразования моделей представления

Из рис. 4.1 видно особое место граничной модели, преобразование в которую возможно из любых других. Учитывая это, а также и то, что эта модель наиболее удобна для визуализации, дальнейшее рассмотрение будет в основном относиться к этой модели.

Используются две основных разновидности способов представления поверхностей тела:

• 
  представление в виде набора вершин, ребер и плоских многоугольников (полигональных сеток);
  
• 
  представление с использованием параметрических бикубических площадок (кусков).
  

Полигональные сетки используются как для представления плоских поверхностей, так и для аппроксимации криволинейных, в том числе и параметрических бикубических площадок, поэтому далее в основном подразумевается представление поверхности в виде плоских многоугольников.