Uchinchi darajali tenglamalarning yechish

_{2.1 Uchinchi darajali tenglamalarning yechish.}


Yuqoritartibli tenglamalardan ikki hadli va uch hadli tenglamalarni ko`rib chiqamiz.
Tarif 2.1.1:xⁿ-a=0 (2.1.1)
(a-berilgan son) ikki hadli tenglama deyiladi.
tenglama xⁿ- a=0 tenglamaga ekvivalentdir.
(2.1.1) tenglamaning ildizlari formuladan topiladi.
Ildizlarning xossalaridan foydalanib, (2.1.1) tenglama ildizlarini tahlil qilamiz.
1. Agar a=0 bo`lsa (ixtiyoriy sonlar maydonida), tenglama yagona yechim ga ega bo`ladi.
2. Agar a≠0 va haqiqiy son bo`lsa, haqiqiy sonlar to`plamida, bo`lganda, tenglama yagona yechim ga ega bo`ladi.
3. a>0 va bo`lganda, tenglama haqiqiy sonlar to`plamida ikkita yechim ga ega bo`ladi.
4. a<0 va bo`lsa, haqiqiy sonlar to`plamida tenglama yechimga ega bo`lmaydi.
a≠0 va ixtiyoriy kompleks (xususiy holda haqiqiy) son bo`lganda, tenglama kompleks sonlar to`plamida ta yechimga ega bo`ladi. Bu yechimlar ning turli qiymatlari bo`ladi.


Misol 2.1.1: tenglama yechilsin.
Yechish: Tenglama ga teng kuchli.
Bundan , ni hosil qilamiz.
Misol 2.1.2: qiymatlari topilsin.
Yechish: tenglamani yechamiz. Ko`paytuvchilarga
ajratib ni topamiz.
Misol 2.1.3: hisoblansin.
Yechish: ni yechamiz. Chap tomonini ko`paytuvchilarga ajratamiz:
va bundan ni topamiz.


Uch hadli tenglamalar
Tarif. (2.1.2)
ko`rinishdagi tenglama uch hadli tenglama deyiladi. Agar deb belgilasak, (2.1.2) uch hadli tenglama ga nisbatan quyidagi kvadrat tenglamaga keltiriladi:
Natijada ni hosil qilamiz.
Xususiy holda, bo`lganda, bikvadrat tenglamaga ega bo`lamiz va uning hamma to`rtta ildizlari uchun
ni topamiz.
Bikvadrat tenglamani a>0 bo`lganda ildizlarini tekshiramiz.
1. bo`lsa, yordamchi tenglamaning ildizlari musbat va turli. Bikvadrat tenglama to`rtta haqiqiy ildizga ega.
2 bo`lganda uchun har xil ishorali ikkita qiymatni hosil qilamiz. Bikvadrat tenglama ikkita haqiqiy, ikkita mavhum ildizga ega bo`ladi.
3. bo`lganda uchun ikkita manfiy qiymatlarni topamiz. Bikvadrat tenglama faqat mavhum ildizlariga ega bo`ladi.
4. bo`lsa, yordamchi tenglama bo`lib, , bo`ladi.
bo`lganda bikvadrat tenglama ikki karrali ildiz ga va yana ikkita haqiqiy ildizlarga bo`lganda, mavhum ildizlarga, bo`lganda ega bo`ladi.
bo`lsa, bikvadrat tenglama to`rkarrali ildiz ga ega bo`ladi.
5. bo`lganda, uchun ikkita qo`shma mavhum qiymatlarni topamiz. Bikvadrat tenglama uchun to`rtta har xil mavhum ildizlarni topamiz.
6. bo`lganda, yordamchi tenglama ikki karrali ildiz ga ega bo`ladi. Bikvadrat tenglama, bo`lganda, ikkita ikki karrali mavhum ildizlarga, bo`lganda, ikkita ikki karrali haqiqiy ildizlarga ega bo`ladi.