Umumlashgan garmonik qator

Umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi

qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish.   va  ekanligi ravshan, bu yerda r-haqiqiy son.
Ushbu


xosmas integralni hisoblaymiz.
Agar r>1 bo‘lsa, u holda  va  yaqinlashuvchi;
Agar r<1 bo‘lsa, u holda  va  uzoqlashuvchi;
Agar r=1 bo‘lsa, u holda  uzoqlashuvchi.
Shu sababli umumlashgan garmonik qator r>1 bo‘lsa yaqinlashuvchi, r1 bo‘lsa uzoqlashuvchi bo‘ladi.

6. Raabe alomati.
6-teorema. (1) qatorning hadlari musbat va  bo‘lsin. U holda

1. agar r > 1 bo‘lsa, (1) qator yaqinlashuvchi;

   
   

2. agar r < 1 bo‘lsa, (1) qator uzoqlashuvchi

   
   

bo‘ladi.

Misol. 1+ qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qator uchun Dalamber alomati natija bermaydi, chunki  . Raabe alomatini tatbiq etamiz:


r =  . Demak, r=1,5 > 1 bo‘lganligi uchun qator yaqinlashuvchi.
7. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar.
1-ta’rif. Ushbu
(1)
bu yerda  musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi.
Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o‘rinli:
1-teorema (Leybnis teoremasi). Agar ishoralari navbatlashuvchi

qatorda
1) qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni
(2)
bo‘lsa,
2) qatorning umumiy hadi  da nolga intilsa:


 (3)
u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.


Isboti.  , ya’ni juft bo‘lsin. U holda S_2m ni quyidagicha yozib olamiz:  . (2) shartga ko‘ra u_2m-1-u_2m>0 (m=1,2,…), demak  va xususiy yig‘indilar ketma-ketligi { } o‘suvchi bo‘ladi.
Endi  xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
.
Yana (2) shartga ko‘ra  tengsizlikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak,  , shu bilan birgalikda 
Endi toq indeksli { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham,
= +


bo‘lgani uchun  da

= + = =
ga ega bo‘lamiz, bunda (3) shartga ko‘ra

Demak,  , qator yaqinlashuvchi.


1-misol.   qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish.   va  .
Demak, yuqoridagi teoremaga asosan qator yaqinlashuvchi.

Endi ixtiyoriy hadli qatorlarni qaraylik.
2-teorema. Agar ixtiyoriy hadli


 (4)
qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan


 (5)
qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.


Isboti. va  mos ravishda (4) va (5) qatorlarning n-xususiy yig‘indilari bo‘lsin.  bilan barcha musbat va bilan xususiy yig‘indidagi barcha manfiy ishorali hadlar qiymatlari yig‘indisini belgilaymiz. U holda =  -,  = + bo‘ladi.
Shartga ko‘ra, (5) qator yaqinlashuvchi, shu sababli {} xususiy yig‘indilar ketma-ketligi limitga ega.
{ } va { } lar esa musbat va o‘suvchi, shu bilan birgalikda  < va  < (chegaralangan), demak, ular ham limitga ega:

=  - munosabatdan {} ham limitga egaligi kelib chiqadi:
=  - .
2-ta’rif. Ixtiyoriy hadli
(4)
qator hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(5)
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (4) qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy hadli (4) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda (4) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.