Universiteti mustaqil ish

Takroriy oʻrinalmashtirishlar
Ta’rif 2.3. Agar m ta elementdan m tadan tuzilgan takroriy oʻrinlashtirishda a₁ element α marta takrorlansa, a₂ element β marta takrorlansa va hokazo a_n element esa γ marta takrorlansa va bunda α+β+…+γ=m boʻlsa, u holda bunday oʻrinlashtirish m ta elementdan tuzilgan takroriy oʻrinalmashtirish deyiladi.
Berilgan elementlardan tuzish mumkin boʻlgan barcha takroriy oʻrinalmashtirishlar soni orqali ifodalanadi, bunda a₁ element α marta, a₂ element β marta va hokazo a_n element esa γ marta takrorlanadi, α+β+…+γ=m.
Teorema 2.2. Mumkin boʻlgan barcha takroriy oʻrinalmashtirishlar soni
(2.6)
ga teng. Bunda lar mos ravishda marta takrorlanadi.
Isbot. Natural argumentli funsiyaga oʻxshash berilgan takroriy oʻrinalmashtirishlarning birini olamiz.
(2.7)
bu yerda berilgan elementlar (i=1, 2, …, m)

toʻplamning elementlaridir. (2.7) ning pastda elementlar kelish tartib raqamlari bilan belgilangan. Oʻrinalmashtirishda a₁ elementni egallagan nomer oʻrniga quyidagi usul bilan belgilash kiritamiz.

ni ham xuddi shunday belgilaymiz:

va nixoyat
_.
Yuqoridagi takroriy oʻrinalmashtirish elementlarining taqsimlanib joylashishi bilan toʻla aniqlangan boʻladi va bunda elementlar
( ) ( ) … ( )
koʻrinishdan iborat.
Endi
(2.8)
simvolni koʻrib chiqamiz. Bu dastlabki 1, 2, 3, …, n oʻrinalmashtirishni oʻrinalmashtirishlarga oʻtkazadi (akslantiradi). Bu simvol (2.1) takroriy oʻrinalamashtirishni
(2.9)
koʻrinishdagi takroriy oʻrinalmashtirishga almashtiradi.
Endi (2.8) koʻrinishdagi simvollarning miqdori ekanligini qayd qilamiz. Bundan m! ta hosil boʻladi. Haqiqatan ham, faraz qilaylik (2.9) koʻrinishdagi oʻrinalmashtirish takrorlanishlar bilan berilgan boʻlsin (qaralayotgan holda) va
( ) ( ) … ( )
takroriy oʻrinalmashtirish

Simvol

Simvol (2.7) takroriy oʻrinalmashtirishlarni (2.9) koʻrinishdagi oʻrinalmashtirishga oʻtkazadi (almashtiradi). Oʻrinalmashtirishlar orasida, ya`ni (2.8) simvollardan hosil qilingan oʻrinalmashtirishlarning hammasi har xil emas. Haqiqatdan ham oʻrinlarni joylashtirishda ularni joyi ahamiyatga ega emas, masalan a₁ element qayerda joylashishi muhim emas. Boshqacha aytganda

elementlar oʻrniga ixtiyoriy boshqa oʻrinalmashtirishni olish mumkin.
va
sonlar toʻplami har xil boʻlsa (ya`nib u toʻplam bittasidagi sonlar boshqasida boʻlmasa), u holda (2.7) va (2.9) dagi takroriy oʻrinalmashtirish har xildir. Bu mulohazalardan berilgan (2.7) oʻrinalmashtirishlarni
α! β! … γ!
usul bilan yozish mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham oʻrinlarni joylashtirishda a₁ elementlarni joylasishini

sonlardan tuzilgan oʻrinalmashtirishdan olingandir,
(bunday oʻrinalmashtirishlar α! ta)
Endi xuddi shunday a₂ elementlarning oʻrinlari taqsimlanishini

sonlardan tuzilgan ixtiyoriy oʻrinalmashtirishni olish mumkin,
(bunday oʻrinalmashtirishlar β! ta)
Yuqoridagi muhokamani a_n element uchun yuritamiz, ya`ni

sonlardan tuzilgan ixtiyoriy oʻrinalmashtirishlar qaraladi.
(bunday oʻrin almashtirishlar γ! ta)
Shunday qilib koʻrib oʻtilayotgan toʻplamda m! ta takroriy oʻrinalmashtirishlar mavjuddir, shu bilan birga har bir oʻrinalmashtirish  α!, β!, …, γ! marta yoziladi. U holda turli takroriy oʻrinalmashtirish soni quyidagiga teng

Teorema isbotlandi.