Urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo’nalishi 184-guruh ashurova gulyorning ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanidan

Teorema. Agar () statistika parametr uchun siljimagan baho bo`lib, uning dispersiyasi bo`lsa, u holda u asosli baho bo`ladi.

Isbot. () statistika siljimagan baho bo`lgani uchun (). U holda ixtiyoriy >0 uchun Chebishev tengsizligidan quyidagi tengsizlikni yoza olamiz:
{<}. (1.5)
Ammo, shartga ko`ra, ixtiyoriy tayinlangan >0 uchun da

Demak, (1.5) tengsizlikdan () statistikaning asosli baho ekanligi kelib chiqadi.

X₁, …, X_n – hajmi n – ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma o‘rta qiymati va dispersiyasini tuzaylik:
, .
Eslatib o‘tamiz, – bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan uning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir. ning matematik kutilmasini va dispersiyasini hisoblaymiz:

,

Endi δ _β >0 sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘lsin:

. (1.6)
- tanlanmaning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga olib, (1.3) – tengsizlikning o‘ng tomondagi β – sonini Laplas funksiyasi bilan bog‘laymiz:

. (1.7)
Bu yerda - o‘rta kvadratik chetlanish.

Laplas funksiyasining Φ(-x) = 1–Φ(x) xossasini inobatga olsak, (1.7) - tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

(1.8)
(1.6) va (1.8) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz:
.
Oxirgi tenglikdan δ_β ni aniqlaymiz:
(1.9)
Bu yerda Φ^-1(x) orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani belgiladik. (1.9) – tenglik bilan aniqlangan δ_β – soni noma’lum miqdor orqali yoziladi. Yetarli katta n lar uchun tanlanma dispersiya S² nazariy dispersiyaga yaqin bo‘lgani uchun ni taqriban ga teng deyish mumkin, ya’ni

Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat θ – uchun β – ishonchlilik ehtimoliga teng ℮_β – ishonchlilik oralig‘i

℮_β= (1.10)
ga teng bo‘ladi. Bu yerda .