Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

15- Маъруза.
ЛОРАН КАТОРИ.
халкада голоморф булган функцияни каторга ёйиш масаласи билан шугулланамиз.
Теорема 1. (Лоран) халкада голоморф булган функция берилган булсин, у холда функцияни якинлашувчи
(1)
катор шаклида тасвирлаш мумкин.
(2)
Исбот:
халкани оламиз. Бунда . Кошининг интеграл формуласига кура, учун ифода уринли. булгани учун
(3)
бунда барча учун булади.
Шунинг учун

Бу катор да буйича текис якинлашувчидир. Бу каторни иккала томонини чегараланган функцияга купайтирсак хам каторни текис якинлашувчилиги узгармайди.
(4 )
бунда
(5).
(3) даги иккинчи интегралда эса ёйилма бошкачарок булади. Барча лар учун . Шунинг учун бунда катор учун текис якинлашувчидир. бўйича тенгликни икала томонини га кўпайтириб интегралласак
(6)
(7)
(7) формуладан ни билан алмаштирсак,
(8)
у холда (8) ёйилма куйидаги куринишга келади.

Шундай килиб ёйилмага эга булдик.
Бунда:


Коши теоремасига кура юкоридаги интеграллар ва ларга боглик эмас. Шунинг учун ва айланалар буйича олинган интегралларни радиусли айлана билан алмаштириш мумкин. Бундан эса (2) келиб чикади.
Таъриф. Коэффициентлари (2) формула билан аникланган (1) каторга Лоран катори дейилади.
каторга Лоран каторининг бош кисми дейилади.
каторга эса Лоран каторининг тугри кисми дейилади.
Лоран каорининг тугри кисми нинг якинлашиш сохаси доирадан иборат булиб, уни якинлашиш радиусини Коши –Адамар формуласидан топиш мумкин.
Лоран каторини бош кисми да узгартириш киритсак, даражаси каторни якинлашиш сохаси маркази координаталар бошида булган радиусли доирадан иборат. Бунда Коши –Адамар формуласига асосан . Белгилашимизга асосан ёки десак . Бунда булади.
Демак, Лоран каторининг бош кисмини якинлашиш сохаси маркази нуктада булган радиусли айланани ташкарисидан иборат булади.
Умуман олганда булишлиги хам мумкин.
Агар булса Лоран каторини якинлашиш сохаси буш тупламдан иборат булади. Агар булса, бу соха халкадан иборат булади. булса, битта нуктада уйилган доирадан иборат булади.