Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Натижа 1. Агар булса, булади.
Натижа 2. Агар функция сохада бошлангич функцияга эга булса, у холда сохада голоморф булади.


4⁰. Функцияни Тейлор каторига ёйиш.
Агар булса, у холда нуктада ( a нукта атрофида)

Тейлор каторига ёйилади:
Исбот. нинг чегарасини дейлик. булади. Авволо деб ёзиб, сунг

булишини эътиборга олиб топамиз:
Бу геометрик катор булиб унинг махражи га тенг.
Равшанки, учун куйидаги тенгсизлик

уринли. Демак, (4) катор якинлашувчи (6) тенгликнинг хар икки томонини га купайтириб, сунг чизик буйича интеграллаб, ушбу тенгликка келамиз. (5) ва (6) муносабатлардан

(7)
булиши келиб чикади. Интеграл остидаги каторнинг хадлари учун тенгсизлик уринли булади. Равшанки, катор якинлашувчи. Унда Вейерштрасс аломатига кура функционал катор текис якинлашувчи булади. Бинобарин бу каторни хадлаб интеграллаш мумкин. Унда (7) тенглик ушбу
(8)
куринишга келади. Юкорида келтирилган маълум теоремага кура
(9)
булишини топамиз. Натижада (8) ва (9) тенгликлардан

булиши келиб чикади. Бу эса функцияни Тейлор каторига ёйилганини билдиради.
Натижа 3. Агар функция ёпик доирада голоморф булиб бу доиранинг чегараси айланади булса, у холда функция Тейлор каторининг коэффицентлари учун
(10)
тенгсизлик уринли булади.
Хакикатан хам, (9) формуладан булиши келиб чикади.
Лиувил теоремаси.

Агар булиб у чегараланган булса, функция да узгармас булади.

Исбот. Голоморф функциянинг хоссасига кура функция доирада z-a нинг дирансалари буйича Тейлор каторига ёйилади.

бунда

Коши тенгсизлиги (10) га биноан булади. булгани учун бу тенгсизликда ки истаганича катта килиб олиш мумкин. Шунинг учун булганда булади. Айни пайтда (10) тенгсизликнинг чап томони га боглик эмас. Бинобарин булганда ( ) булади. Демак, да