Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

3.Комплекс    сонларнинг  тригонометрик    шакли.Координаталар 
бошини  кутб,ОХ  укининг  мусбат  йуналишини  кутб  уки  деб  олиб,  
А(а;в)  нуктасининг  кутб  координаталарини   

  ва  r  (r

0)    билан 
белгилаймиз.Унда ушбу тенгликларни ёзиш мумкин (18-расм): 
                         a = r cos 

 , b = r sin 

, 
демак комплекс сонни куйидагича тасвирлаш мумкин: 
                         a + ib = r cos 

 + ir sin

 
            ёки        
                         Z = r (cos 

 + i sin 

) 
Бундай комплекс сон тригонометрик шаклда берилган деб айтилади. 
r-    комплекс    сон  Z  нинг  модули  ва   

    комплекс      Z  соннинг 
аргументи деб айтилади: 
                         r = | Z | , 

 = arg Z  
 r    ва  

  микдорлар а ва в  оркали  бундай ифодаланади: 
                         
a
b
arctg
b
a
r




;
2
2
 
Комплекс    соннинг    аргументи     

        бурчак  ОХ  укининг  мусбат 
йуналишидан  соат  стрелкаси  харакатига  тескари  йуналишда 
хисобланса,  мусбат,  карама-карши  йуналишда  хисобланса,  манфий 
булади.  Равшанки,  аргумент  бир  кийматли  булмайди,  балки  2к

 
кушилувчигача (к бутун) аникликда белгиланади. 
а) 
Тригонометрик 
шаклда 
берилган 
комплекс 
сонларни 
купайтириш. 
                   Z
1
 = r
1
 (cos 

1
 + i sin 

1
 ), Z
2
 = r
2
 (cos 

2
 + i sin 

2
 ) 
Комплекс сонлар берилган булсин. 
 
Бу сонлар купайтмасини  топамиз: 
 
Шундай килиб, 
)]
sin(
)
[cos(
2
1
2
1
2
1
2
1








r
r
Z
Z
 

 М и с о л :           
)
2
sin
2
(cos
4
),
3
sin
3
(cos
2
2
1








i
Z
i
Z
 
булсин, унда 
                               
)
6
5
sin
6
5
(cos
8
)]
2
3
sin(
)
2
3
[cos(
4
2
2
1













i
i
Z
Z
 
булади. 
б) Тригонометрик шаклда берилган комплекс сонларни булиш. 
Кетма-кет куйидаги тенгликларни курамиз: 
            
1
)]
(sin
)
[cos(
)
sin
(cos
)
sin
(cos
)
sin
(cos
)
sin
(cos
)
sin
(cos
)
sin
(cos
2
1
2
1
2
1
2
2
21
2
21
2
2
1
1
1
21
2
2
1
1
1
2
1





























i
r
r
i
i
i
r
i
r
i
r
i
r
Z
Z
 
Демак,                               
)]
sin(
)
[cos(
2
1
2
1
2
1
2
1








i
r
r
Z
Z
                                  
(62) 
тенглик хосил булади. 
М и с о л :          
?
),
3
sin
3
(cos
4
),
2
sin
2
(cos
2
2
1
2
1









Z
Z
i
Z
i
Z
 
Ечими:  (62) – формуладан фойдаланамиз:             
                            
]
6
sin
6
[cos
2
1
)]
3
2
sin(
)
3
2
[cos(
2
1
)
3
sin
3
(cos
4
)
2
sin
2
(cos
2
2
1




















i
i
i
i
Z
Z
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.  Комплекс сонни таърифланг. 

2.  Комплекс 
сонлар 
устидаарифметик 
амаллар 
бажариш 
коидаларини келтиринг. 
3.  Комплекс соннинг тригонометрик куринишини келтиринг. 
23 – М А Ъ Р У З А 
 
МУАВР ФОРМУЛАСИ . КОМПЛЕКС СОНДАН ИЛДИЗ 
ЧИКАРИШ. ИККИ ХАДЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ. 
 
Таянч иборалар:
 Комплекс сонни курсаткичли куриниши, Муавр 
формуласи, икки хадли тенгламалар. 
                               
 
1.Комплекс сонни курсаткичли шакли. 
 
Комплекс сонни тригонометрик шаклда тасвирлаймиз: 
  
                                           Z = (cos 

 + i sin 

) r 
 
Эйлер формуласига кура: e
i

 =cos 

 + i sin 

 
Демак,  хар  кандай  комплекс  сонни  ушбу  курсаткичли  шаклда 
тасвирлаш мумкин: 
                                            Z = r 

 e
i

 
М и с о л :           
)
7
sin
7
(cos
5




Z
 
Бу комплекс сон куйидаги курсаткичли шаклда ёзилиши мумкин. 
                                         
i
e
Z
7
5


 
а)  Z
1
  =  r
1
1

i
e
   
ва  Z
2
  =  r
2
 
2

i
e
 
    комплекс  сонларнинг  купайтмаси  ва 
булинмасини аниклаймиз: 
                              Z 
1
 Z 
2
 = r
1
 
1

i
e r
2
 
2

i
e  = r
1
 r
2
 
)
(
2
1



i
e
 
   
М и с о л :   
4
2
2
4
,
2




i
i
e
Z
e
Z
  
Бу сонларнинг купайтмасини ва булинмасини топамиз: 
                               
2
4
2
4
2
4
3
4
2
4
2
2
1
2
1
4
2
8
8
4
2
)
(
2
1
)
)
(
2
1


















i
i
i
i
i
i
i
i
e
e
e
e
Z
Z
e
e
e
e
Z
Z
 
 
б) Комплекс сонни n – даражага кутариш амалини караймиз: 

 
                               







i
i
i
i
re
re
re
Z
re
Z
2
2
,
 
Шу каби               
,...
2
,
1
,



n
e
r
Z
in
n
n
 
 
Охирги формула Муавр формуласи деб хам ишлатилади. 
М  и  с  о  л  :     
60
2


i
e
Z
    комплекс  сон  берилган  булсин,  у  холда 
Муавр формуласига асосан n=6 булганда 
                            
10
60
6
6
6
64
2




i
i
e
e
Z
            булади. 
 
б) Комплекс сондан  n – даражали илдиз чикариш. 


i
re
Z
  берилган  булсин.Бу  комплекс  сондан  n  –  тартибли  илдиз 
оламиз (k=1,2,…): 
                                
n
k
i
n
i
n
i
n
e
re
re
Z







2
1
)
(
 
Демак                     
,...)
2
,
1
(
,
2





k
e
r
Z
n
k
i
n
n
                      (63) 
                                       
 
Эйлер формуласидан фойдаланиб (63)  – формулани тригонометрик 
куринишда ёзиш мумкин: 
                           
,...)
2
,
1
)(
2
sin
2
(cos









k
n
k
i
n
k
r
Z
n
n
      (64) 
       
 
2. Икки хадли тенгламаларни ечиш. 
A
x
n

        шаклдаги  тенглама  икки  хадли  тенглама  дейилади.Бу 
тенгламанинг илдизларини топамиз. 
 
а) А хакикий мусбат сон булсин. 
 
                      
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
),
2
sin
2
(cos






n
k
n
k
i
n
k
A
x
n
 
Кавс  ичидаги  ифода  1  соннинг  n  –  даражали  илдизининг  хамма 
кийматларини беради. 
 
б) А хакикий манфий сон булса, 
 
                    
)
1
,...
2
,
1
,
0
(
),
2
sin
2
cos
|
|










n
k
n
k
i
n
k
A
x
n
 
Кавс  ичидаги  ифода  –  1  соннинг  n  –  даражали  илдизининг  хамма 
кийматларини беради. 

 
в)  А  сон  компллекс  сон  булса,  х  нинг  кийматлари  (68)  формула 
оркали 
xисобланади. 
 
 
М и с о л :    х
4
=1  тенгламани ечинг. 
                        
4
2
sin
4
2
cos
2
sin
2
cos
4
k
i
k
k
i
k
x








 
к га 0,1,2,3, кийматлар бериб илдизларни аниклаймиз: 
                                    
i
i
x
i
x
i
x
i
x




















4
6
sin
4
6
cos
4
1
4
4
sin
4
4
cos
1
4
2
sin
4
2
cos
1
0
sin
0
cos
3
2
1
 
 
М и с о л :         x
3
 +Z = 0 тенгламани ечинг, бу ерда 
                                            
)
4
sin
4
(cos
2




i
Z
 
Ечими: 
     
              
3
2
225
sin
3
2
225
(cos
2
)
4
5
sin
4
5
(cos
2
0
0
3
3
3












k
i
k
i
Z
x
 
 
к урнига 0,1,2,ларни куйиб, барча илдизларни топамиз 
                       
)
315
sin
315
(cos
2
)
195
sin
195
(cos
2
)
75
sin
75
(cos
2
0
0
3
3
0
0
3
2
0
0
3
1
i
x
i
x
i
x






 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Муавр формуласини ёзинг. 

2.Комплекс сондан илдиз чикариш тартиби кандай? 
3.Икки  хадли тенглама деб кандай тенгламаларга айтилади ва улар 
кандай ечилади. 
24- М А Ъ Р У З А 
 
ИККИ ВА УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА 
ТУШУНЧАЛАР .ЭГРИ ЧИЗИКЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА 
ТУШУНЧАЛАР ВА УЛАРНИ ЕЧИШ. 
 
Таянч  иборалар:
  Икки  каррали  интеграл,  уч  каррали  интеграл, 
эгри чизикли интеграл. 
 
1.Икки каррали интеграллар. 
 
ОХУ  текисликда  ётувчи  D  сохани  координата  укларидан  бирига, 
масалан, ОУ укка параллел  булган ва соханинг ички нуктасидан 
утадиган  хар  кандай  тугри  чизик  унинг  чегарасини  икки      N
1
    ва   
N
2
   нуктада кесиб утадиган килиб оламиз.(19-расм).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
                                                             19-расм 
 
Каралаётган холда D соха  y = 

1
(x) , y = 

2
(x) , x=a , x=b  чизиклар 
билан  чегараланган,бунда 

1
(x)  < 

2
(x)  ,  a

1
(x)  , 

2
(x)  
функциялар [a;b ] кесмада узлуксиз деб фараз этамиз. 
Бундай  сохани  биз  ОУ  ук  йуналишида  тугри  булган  соха  деб 
айтамиз. ОХ ук йуналишда тугри булган соха хам шунинг сингари 
аникланади. 
y 
0 
x
 
N
1`
 
b 
a 
r 
D 
N
2`
 
x 
y=

2
(x) 
 
y=

1
(x) 

              Хам ОХ ва хам ОУ уклар йуналишида тугри булган сохани 
кискача тугри соха деймиз. 
              Берилган    D    сохада    Z  =  f  (x,y)    функция  узлуксиз 
булсин.Куйидаги ифода  f (x,y) функциядан  D соха буйича олинган 
икки каррали интеграл деб айтилади ва   I
D
   билан белгиланади: 
                                          
 



b
a
x
x
D
dx
dy
y
x
f
J
)
(
)
(
2
1
)
)
,
(
(
 
                                  
Уни  хисоблаш  учун    х  ни  узгармас  деб  караб  ,  кавс  ичидаги 
ифодани аввал  у  буйича аник интегралини топамиз: 
                                        




)
(
)
(
2
1
)
,
(
)
(
x
x
dy
y
x
f
x
Ф
 
Бу функцияни  х  буйича а дан b гача чегарада интеграллаб , икки  
каррали  интегралнинг  кийматини чикарамиз: 
                                        


b
a
D
dx
x
Ф
J
)
(
 
М и с о л: Ушбу икки  каррали  интегрални хисобланг : 
 
                                      
 


1
0 0
3
3
)
)
(
(
x
D
dx
dy
y
x
J
 
Ечими: 
                           

















1
0
1
0
5
4
1
0
4
4
1
0
0
4
0
3
1
0
0
3
0
3
4
1
|
4
1
4
5
)
4
(
)
|
4
|
(
)
(
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
y
x
dx
dy
y
dy
x
J
x
x
x
x
D
 
                       
 
2. Икки каррали  интегралнинг хоссалари. 
 
а)  агар  ОУ  ук  йуналишида  тугри  булган    D    сохани    ОУ  ёки    ОХ 
укка параллел тугри  чизик  билан  икки  D
1
  ва  D
2
  сохага булинса 
,  D  соха  буйича  олинган  икки  каррали  I
D
  интеграл  D
1
  ва  D
2
  
сохалар  буйича  олинган  икки  каррали  интегралларнинг 
йигиндисига тенг :  
                                                 
2
1
D
D
D
J
J
J


 

б)  f  (x,y)    функциянинг    D    сохадаги  энг  кичик  ва  энг  катта 
кийматлари  мос  холда  m    ва      M  булсин  ,  D  соханинг  юзини    S  
билан белгилаймиз . У холда куйидаги муносабат уринли булади: 
                                     
 




b
a
x
x
MS
dx
dy
y
x
f
mS
)
(
)
(
2
1
)
)
,
(
(
 
 
в)  f  (x,y)  узлуксиз  функциянинг    D  соха    буйича  олинган  I
D
  икки 
каррали  интеграли  ,  D  соханинг  S    юзини  функциянинг  D  сохада 
олинган бирор  Р нуктасидаги  кийматига купайтмасига тенг: 
 
                                      
 



b
a
x
x
S
P
f
dx
dy
y
x
f
)
(
)
(
2
1
)
(
)
)
,
(
(
 
 
 
                  3. Икки каррали интеграллар ёрдамида юзалар  
                                      ва  хажмларни  хисоблаш.    
     
а)  Z = f (x,y), (f (x,y)>0) сирт , D тугри соха, йуналтирувчиси D тугри 
соханинг чегарасидан иборат булган  чизик, ясовчиси эса 0Z укка 
параллел цилиндрик сирт билан чегараланган жисмнинг  V хажми  
D  тугри  соха  буйича  f  (x,y)    функциядан  олинган  икки  каррали 
интегралга тенг (20-расм). 
                                    
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
                                                   20-расм 
 
 
                                             
 



b
a
x
x
dx
dy
y
x
f
V
)
(
)
(
2
1
)
)
,
(
(
 
y 
z 
0 
D 
z=f(x,y) 
x
 

1
(x) 

2
(x) 
b 
a 

 
 
М  и  с  о  л  :  x=0,  y=0  ,  x+y+z=1,  z=0  сиртлар  билан  чегараланган 
жисмнинг хажмини топинг. 
 
 
 
Ечими: