Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

С а в о л л а р : 
 
1.Тартиби  пасаювчи иккинчи тартибли дифференциал тенгламалар турларини келтиринг.  Уларнинг 
умумий ечимлари кандай аникланади. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28  -   М А Ъ Р У З А 
 
ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИЦЕНТЛИ  
БИР ЖИНСЛИ ДАФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР. 
 
Таянч  иборалар:
  Чизикли  эркли  функциялар,  Вронский  детерминанти,  характеристик 
тенглама. 
 
а)  Бир жинсли чизиикли тенгламалар. 
 
ТАЪРИФ:  Агар  n-тартибли  дифферренциал  тенглама  номаълум  у  функция  ва  унинг  у

,  у

,…,  у
(n-1)
  
хосилаларига  нисбатан биринчи даражали булса, бундай тенглама чизикли дифференциал тенглама 
дейилади: 
                      а
0 
у
(n)
+ а
1 
у
(n-1)
+…+ а
n 
у=f (x),                                 (P) 
бунда а
0
,, а
1
, а
2
,…, а
n 
  ва f(x) лар х нинг маълум функциялари ёки узгармас сонлар. Бундан кейин а
0
,, 
а
1
, а
2
,…, а
n 
  ва  f(x) функцияларнинг х нинг барча кийматларида узлуксиз функция ва а
0
 коэффицент 
бирга тенг деб фараз киламиз. (P) тенгламанинг унг томонида турган  f(x) функция тенгламанинг унг 
томони деб аталади. 
 
Агар f (x)

0 булса, бу холда тенглама бир жинсли чизикли тенглама дейилади.  
 
Агар f (x)=0 булса, бу холда тенглама  
                       
 
у
(n)
+ а
1 
у
(n-1)
+…+ а
n 
у=0                                         (Q) 
куринишда булади ва бир жинсли чизикли тенглама деб айтилади. 
 
Бир жинсли чизикли тенгламаларнинг баъзи хоссаларини 2-тартибли тенгламалар мисолида 
курсатамиз. 
 
ТЕОРЕМА : Агар  у
1
  ва  у
2    
2-тартибли бир жинсли чизикли 
                                
0
2
1





у
а
у
а
у
                                        (Q
2
) 
тенгламанинг иккита хусусий ечими булса , у холда у
1
+у
2  
хам бу тенгламанинг ечими булади. 
И с б о т : Теореманинг шартлари бажарилган булсин, куйидаги тенгликлар уринли булади: 
    (у
1
+у
2
)

+а
1
(у
1
+у
2
)

+ а
2
(у
1
+у
2
)= (
1
2
1
1
1
у
а
у
а
у




)+
0
2
2
1
2





у
а
у
а
у
 
Теорема исботланди. 
ТЕОРЕМА  :  Агар  у
1
  функция  (Q
2
)  нинг  ечими  булса  ,  у  холда  С

у
1
  хам  (Q
2
)  тенгламанинг  ечими 
булади. 
И с б о т : Теореманинг шарти бажарилган булсин, унда унинг исботи куйидаги тенгликлардан келиб 
чикади: 
(С

у
1
)

+а
1
(С

у
1
)

+а
2
(С

у
1
)=С(
0
2
1





у
а
у
а
у
)=С

0=0. 
ТАЪРИФ: Агар [a ; в] кесмада (Q
2
) тенглама иккита  у
1 
ва у
2 
 ечимининг нисбати узгармас микдрога 
тенг булмаса, яъни 
const
у
у

2
1
 булса,  у
1 
ва у
2 
 ечимлар [a ; в] кесмада чизикли боглик булмаган 
ечимлар дейилади. 
ТАЪРИФ: Агар  у
1 
ва у
2
 ларнинг функцияси булса, у холда   

                              W(у
1 
, у
2
) = 
2
1
2
1
у
у
у
у


  
детерминант Вронский детерминанти дейилади. 
ТЕОРЕМА : Агар  у
1
 ва у
2
 функциялар [a ; в] кесмада чизикли  боглик булса, у  холда  бу кесмада 
Вронский детерминанти айнан нолга тенг булади. 
И с б о т : у
2
=

у
1
 булса , у холда  у

2
=

у

1
 булади ва  
                     W(у
1 
, у
2
) = 
2
1
2
1
у
у
у
у


= 
2
1
2
1
2
1
2
1
у
у
у
у
у
у
у
у








=0 
ТЕОРЕМА  :    Агар  (Q
2
)  тенгламанинг    у
1 
ва  у
2 
  ечимлари  [a;в]  кесмада  чизикли    эркли  булса,  бу 
ечимлардан  тузилган  W  Вронский  детерминанти  курсатилган  кесманинг  хеч  бир  нуктасида  нолга 
айланмайди. 
Бу ва кейинги теоремани исботсиз кабул киламиз.  
ТЕОРЕМА  :  Агар  у
1
  ва  у
2
  функциялар  (Q
2
)  тенгламанинг  иккита  чизикли    эркли  ечими  булса,  у 
холда 
                                           у=С
1
у
1
+С
2
у
2 
(бунда С
1 
 ва С
2
-ихтиёрий узгармас микдорлар), (Q
2
) тенгламанинг умумий ечими булади. Бунда  у
1 
ва 
у
2 
 ечимлар (Q
2
) тенгламанинг асосий ечимлари деб айтилади. 
 
б) Узгармас коэффициентли 2-тартибли бир жинсли чизикли 
тенгламалар. 
 
Иккинчи тартибли  бир жинсли чизикли тенглама 
                                  у

+p у

+q y=0                                                 (Q
3
) 
берилган булсин, бунда p ва q узгармас хакикий сонлар. 
 
Бу тенгламанинг иккита чизикли эркли хусусий ечимини у=
kx
e
 куринишда излаймиз, 
(k=const). Бу холда   у

= k 
kx
e
, у

= k 
2
kx
e
 . 
у,  у

 , у

 лар кийматларини   (Q
3
)  тенгламага куйсак. 
                                  
kx
e

( k
2
+pk+q)=0 
мунособат хосил булади. Аммо  
kx
e

0, демак  
                                   k
2
+pk+q=0 
тенглик хосил булади. Бу тенглама (Q
3
)  тенгламанинг характеристик тенгламаси деб айтилади. 
 Бунда 
       
q
p
p
k




4
2
2
1
 ,                     
q
p
p
k




4
2
2
2
. 
куйидаги холлар булиши мумкин. 
1) k
1 
 ва k
2
 хакикий ва бир-бирига тенг булмаган сонлар, (k
1  

k
2
). Бу холда   
                    у
1
=
x
k
e
1
 ,                                у
2
=
x
k
e
2
 
функциялар хусусий ечимлар булади. 
 
Бу ечимлар 
                                
0
)
(
1
2
1
2
1
2




x
k
k
x
k
x
k
e
e
e
y
y
  
булгани учун чизикли эркли булади. Демак умумий ечим 
                               у=С
1
x
k
e
1
+С
2
x
k
e
2
 
куринишда булади. 
2) Характеристик тенгламанинг илдизлари хакикий ва тенг булганда, яъни k
1=
k
2 
 умумий ечим 
                                у=(С
1
+С
2
х)
x
k
e
1
                                    (Q
4
) 

куринишда булади. 
3)  Характеристик  тенгламанинг  илдизлари  комплекс  сонлар  булган  холда.  яъни                k
1
=

-i

      ва   
k
2
=

+i

 булганда умумий ечим 
                              у=
)
sin
cos
(
2
1
x
C
x
C
e
k




                 (Q
5
) 
куринишда булади. 
(Q
4
) ва (Q
5
) мунособатларни исботсиз кабул киламиз. 
 
в) Узгармас коэффициентли  n-тартибли бир жинсли тенгламалар. 
 
n-тартибли бир жинсли чизикли  
                        у
(n)
+ а
1 
у
(n-1)
+ а
2 
у
(n-2)
+…+ а
n 
у=0                        (Q
6
)  
тенгламани караймиз. а
1
, а
2
,…, а
n
 ларни узгармас сонлар деб фараз киламиз. 
ТАЪРИФ: Агар [a ; в] кесмада х нинг барча кийматлари учун 

n
(x)=A
1

1
(x)+ A
2

2
(x)+… +A
n-1

n-1
(x) 
тенглик  уринли  булса,  бунда  A
1
,  A
2
,…,  A
n
  хаммаси  бир  вактда  нолга  тенг  булмайдиган  узгармас 
сонлар,  у  холда 

n
(x)  функция 

1
(x), 

2
(x),  …,

n-1
(x)  функциялар  оркали  чизикли  ифода  этилади 
дейилади.  Агар  n  та 

1
(x), 

2
(x),…, 

n-1
(x), 

n
(x)  функцияларнинг  хеч  бири  колганлари  оркали 
чизикли ифода этилмаса, у функциялар чизикли эркли функциялар деб аталади. 
ТЕОРЕМА :  Агар   у
1
 , у
2
 ,…, у
n
   функциялар  (Q
6
)  тенгламанинг чизикли эркли ечимлари булса,  у 
холда 
                               у = С
1
у
1
 + С
2
у
2
+…+ С
n 
у
n
 
Q
6
    унинг  умумий  ечими  булади,  бунда    С
1
,  С
2
,…С
n
    ихтиёрий  узгармас  сонлар.  У  куйидагича 
топилади: 
1)  Характеристик тенгламани тузамиз: 
                    k
n
 +a
1
k
n-1
 + a
2
k
n-2
 +…+ а
n
 =0. 
2)  Характеристик тенгламанинг k
1
 , k
2
 ,…,k
n
  илдизларини топамиз. 
3)  Хар бир каррали  k  илдизга  e
kx
  хусусий ечим мос келади. 
4)  Хар  бир  жуфт    k
(1)
  =

-i

  ,  k
(2)
  =

+i

    кушма  комплекс  бир  каррали  илдизларга  иккита  
е

х
сos

x  ва е

х
sin

x  хусусий ечимлар тугри келади. 
5)  Хар  бир r каррали хакикий илдизга  r  та  чизикли эркли 
                    e
kx
  , x e
kx
 , …, x
2-1
 e
kx
 
     хусусий ечимлар тугри келади. 
6)  Хар бир 

  каррали жуфт  k
(1)
 =

-i

, k
(2)
 =

+i

 кушма комплекс илдизга  2

 та 
                 е

х
сos

x ,х е

х
сos

x ,…, х

-1
 е

х
сos

x , 
                 е

х
sin

x , x е

х
sin

x ,…, х

-1
 е

х
sin

x 
    хусусий ечимлар тугри келади. 
7)  n  та  чизикли эркли у
1
 , у
2
 ,…, у
n
  хусусий ечимларни топгандан        
    сунг  (Q
6
)  тенгламанинг умумий ечими тузилади: 
                               у = С
1
 у
1
 +С
2
 у
2
 +…+С
n
у
n
 
 
М и с о л :  Тенгламанинг умумий ечимини топинг : 
                                               у
(4)
-у =0 
 
Ечими.   Характеристик тенгламани тузиб илдизларини аниклаймиз : 
                             k
4
 –1=0  , k
1
=1,  k
2
= -1 , k
3
 = i ,  k
4
= - i  
Энди умумий ечимни ёзишимиз мумкин : 
                                   у =С
1
е
х
 + С
2
е
-х
 + С
3
cosx +C
4
sinx . 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.  Юкори  тартибли  чизикли  узгармас  коэффициентли  биржинсли 

дифференциал  тенгламаларни  таърифланг  ва  хоссаларини 
келтиринг. 
 
 
 
 
 
 
29  -   М А Ъ Р У З А 
 
УЗГАРМАС КОЭФФИЦЕНТЛИ ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ БИР 
ЖИНСЛИ ЧИЗИКЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. 
 
Таянч иборалар:
  Вариациялаш усули, номаълум коэффициентлар усули. 
 
а) Бир жинслимас иккинчи тартибли чизикли тенгламалар. 
 
 
Бир жинслимас иккинчи тартибли чизикли тенгламалар деб  
                                    у

 + а
1 
у

 +а
2 
у=f (x)                                      (V
1
) 
куринишдаги  тенгламага  айтилади.  Бунда  а
1
,  а
2
,,  f      бир  узгарувчили  функциялар    ёки 
узгармаслар. 
ТЕОРЕМА  :  Бир  жинслимас  (V
1
)  тенглама  умумий  ечими  бу  тенгламанинг  бирор  у

  хусусий 
ечими билан мос бир жинсли 
                                    у

 + а
1 
у

 +а
2 
у=0                                           (V
2
) 
тенгламанинг 
у
 умумий ечими йигмндиси каби ифодаланади, яъни 
                                           у=
у
+ у

  
Теоремани  исботсиз кабул киламиз. 
 
б) Ихтиёрий узгармас микдорларни вариациялаш усули. 
 
 
Бир жинсли (V
2
) тенгламанинг умумий ечими топилди деб фараз киламиз:  
                          
у
=С
1 
у
1
+С
2 
у
2                               
                                       (V
3
) 
Бу ерда С
1
 ва С
2
 лар узгармас микдорлар. 
(V
1
)  тенгламанинг хусусий ечими  у

   
ни аниклаш  учун (V
3
) мунособатда  С
1
  ва  С
2
  лар  узгармас 
микдорларни х нинг функцияси деб олиб у

 
ни 
                      у

=С
1
(х)у
1
+С
2
(х)у
2               
                                            (V
4
)
                                                                                          
 
куринашда  кидирамиз.  Бунда  С
1 
(х)  ва  С
2
(х)  функциялар  аниклаш  керак  булган  номаълум 
функциялар. 
(V
4
) тенгликни дифференциаллаймиз: 
                      у

 

=С
1 
(х) у
1

+С
2 
(х) у
2

+ С
1 

 (х) у
1
+С
2

 
(х) у
2
 
С
1 
(х) ва С
2 
(х) функцияларни 
                   С
1 

 (х) у
1
+С
2

 
(х) у
2
=0                                                       (

) 
тенглик бажариладиган килиб танлаб оламиз. У холда биринчи тартибли у

 

 хосила 
                         у

 

=С
1 
(х) у
1

+С
2 
(х) у
2

                                              
 
(V
5
) 
куринишга келади. Энди бу ифодани дифференциаллаб, у


 ни топамиз: 
               у


= С
1 
(х) у
1

+С
2 
(х) у
2

+ С
1 

 (х) у
1

+С
2

 
(х) у
2

                 (V
6
) 
(V
4
), (V
5
), (V
6
) лардаги  у

, у

 

, у


кийматларини  (V
1
)  тенгламага куйиб  
                          С
1 
(х) у
1

+С
2 
(х) у
2

+ С
1 

 (х) у
1

+С
2

 
(х) у
2

+ 
             +а
1
(С
1 
(х) у
1

+С
2 
(х) у
2

 )+а
2
(С
1 
 (х) у
1
+С
2 
(х) у
2
)= f (x) 
ёки 
                    С
1 
(х)( у
1

 + а
1 
у
1

 +а
2 
у
1
)+ С
2 
(х) ( у
2

 + а
1 
у
2

 +а
2 
у
2
)+ 
                                + С
1 

(х)
 
у
1

 + С
2

 
(х)  у
2

 =f (х) 

тенгликни  хосил  киламиз.  Агар  у
1
  ва  у
2
  функциялар  (V
2
)  тенгламанинг  ечимлари  эканлигини 
назарга олсак, охирги тенглик 
                           С
1 

(х)
 
у
1

 + С
2

 
(х)  у
2

 =f (х)                                        (

) 
куринишни олади.Шундай килиб, номаълум С
1 
(х)
   
ва С
2 
(х) функцияларни аниклаш учун (

) ва  
(

) тенгликлардан тузилган тенгламалар системасини ечиш керак. Аникланган  С
1 
(х)
   
ва С
2 
(х) 
функцияларни (V
4
) га куйиб у

 
хусусий ечимни топамиз. 
М и с о л : Ушбу 
                                              у

-
х
1
у

=х 
 тенгламанинг умумий ечимини топинг. 
Ечими.  Умумий ечимни 
                                              у=
у
+ у

 
куринишда кидирамиз. 
у
 умумий ечимни  
                                               
у

-
х
1
у

=0 
тенгламадан топамиз: 
                  
,
1
х
у
у



                                                   
,
x
dx
y
y
d



 
              ln
у

=lnx+lnC ,                                             
у

=C
1
x. 
демак 
                                              
у
= C
1
x
2
+ C
2. 
Хусусий  у

 ечимни 
                                          у

= C
1
(х)

x
2
+C
2
(х) 
куринишда кидирамиз. Бунинг учун  (

) ва  (

)  тенгламалар системасини тузиб  C
1
(х)  ва  C
2
(х) 
номаълум функцияларни топамиз: 
 







































.
2
)
(
2
)
(
 
2
1
)
(
2
1
)
(
0
)
(
)
(
2
0
)
(
)
(
2
3
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
С
х
х
С
С
х
х
С
х
х
С
х
С
х
х
С
х
х
С
х
С
х
х
С
 
 
у

 хусусий ечим                                
                                 у 

 
=
3
6
2
3
3
3
х
х
х


 
куринишда экан. 
Демак, дастлабки тенгламанинг умумий ечими 
                                   у=С
1 
х
2 
+ С
2  
+
3
3
х
 
булади.  
в) Узгармас коэффициентли иккинчи тартибли бир жинслимас 
чизикли тенгламалар. 
Ушбу 
                   у

 + p у

 +q 
 
у=f (x)                                   (V
7
) 
тенглама берилган булсин, бунда   p, q  лар хакикий сонлар. 
(V
7
) тенгламанинг умумий ечимини 
                                            у=
у
+ у

 

куринишда излаймиз. Бунда 
у
 (V
7
) тенгламага мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими, у

 
эса (V
7
) тенгламанинг хусусий ечими. 
у
 ни топиш учун 
                                         k
2
 + p k +q 
 
=0 
характеристик тенгламани ечиб  
                                        
у
= С
1  
у
1
 + С
2
 у
2
 
умумий ечимни тузамиз. 
(V
7
)  тенгламага  узгармас  коэффициентли  тенглама  эканлиги  учун,  баъзан,  хусусий  у

  ечимни 
осонрок  топилади.  (V
7
)  тенгламанинг  унг  томони  курсаткичли  функция  билан  купхад 
купайтмасидан иборат 
                                      f (x)=P
n 
(x) e

k
  
куринишда  булсин,  бунда  P
n 
(x)  n-даражали  купхад.  У  холда  куйидаги  хусусий  холлар  булиши 
мумкин: 
1) 

 сони                     k
2
 + p k +q 
 
=0 
характеристик тенгламанинг илдизи булмаган хол. 
Бу холда хусусий ечим 
                          у

=х(А
0 
х
n 
+ A
1 
x 
n -1
+…+A
n 
) e

k
. 
куринишда  излаш  керак.  Бу  ердаги  у

  ни  (V
7
)  тенгламага  куйиб,  тенгламанинг  иккала 
томонидаги e

k 
га кискартириб, кейин бир хил даражали х лар олдидаги коэффициентларни бир-
бирига тенглаб олсак, номаълум А
0
, А
1
,… ,А
n
 коэффициентларни топиш учун (n+1) номаълумли 
(n+1)  тенгламали  чизикли  тенгламалар  системасини  хосил  киламиз.  Бундай  усул  номаълум 
коэффициентлар  усули  деб  айтилади.  Агар    шу  системадан  А
0
,  А
1
,…  ,А
n
  ларни  топсак,  у

  ни 
ёзишимиз мумкин булади. 
2) 

 характеристик тенгламанинг бир каррали илдизи булган хол. Бундай холда хусусий ечимни 
                               у

=(А
0 
х
n 
+ A
1 
x 
n -1
+…+A
n 
) e

k
. 
Куринишда  кидириш  максадга  мувофик.  А
0
,  А
1
,…  ,А
n
  лар  юкорида  курсатилган  номаълум 
коэффициентлар усули оркали аникланади. 
в) 

 сон характеристик тенгламанинг икки каррали илдизи булган холда хусусий у

 ечимни 
                              у

=х
2
(А
0 
х
n 
+ A
1 
x 
n -1
+…+A
n 
) e

k
. 
куринишда излаб, А
0
, А
1
,… ,А
n
 ларни номаълум коэффициентлар усули оркали аниклаймиз.